《2025年暑假生活八年级数学人教版北京教育出版社》

9. 在$\triangle A B C$中,$\angle C = 90 ^ { \circ }$,$A C = 3$,$B C = 4$,若以$A$,$B$,$C$为其中的三个顶点组成一个平行四边形,求这个平行四边形的周长.

答案： 14 或 16 或 18

10. 等腰三角形的顶角度数为$y$,底角度数为$x$.
(1)写出$y与x$之间的函数关系式.
(2)若$30 ^ { \circ } ＜ x ＜ 60 ^ { \circ }$,试求$y$的取值范围.

答案： 【解析】：
(1)因为等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$，所以可得$2x + y = 180$，移项可得$y$与$x$之间的函数关系式为$y = 180 - 2x$。
(2)已知$30^{\circ} \lt x \lt 60^{\circ}$，先对$y = 180 - 2x$分析$y$随$x$的变化情况，因为$y = 180 - 2x$中$-2\lt0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
当$x = 30^{\circ}$时，$y = 180 - 2×30 = 120^{\circ}$；当$x = 60^{\circ}$时，$y = 180 - 2×60 = 60^{\circ}$。
因为$x$取不到$30^{\circ}$和$60^{\circ}$，所以$y$的取值范围是$60^{\circ} \lt y \lt 120^{\circ}$。
【答案】：
(1)$y = 180 - 2x$；
(2)$60^{\circ} \lt y \lt 120^{\circ}$

11. 如图,在平行四边形$A B C D$中,$P是A B$上一点(不与点$A$,$B$重合),$C P = C D$,过点$P作P Q \perp C P$,交$A D于点Q$,连接$C Q$,$\angle B P C = \angle A Q P$.

(1)求证：四边形$A B C D$是矩形.
(2)当$A P = 3$,$A D = 9$时,求$A Q和C Q$的长.

答案：
(2) $ AQ = 4 $ $ CQ = 5\sqrt{10} $