《2025年暑假生活八年级数学人教版北京教育出版社》

12. 为了从甲、乙两名队员中选拔一人参加射击比赛,现对他们进行一次测试. 两个人在相同条件下各射靶$5$次,甲命中的环数分别是$10$,$6$,$10$,$6$,$8$,乙命中的环数分别是$7$,$9$,$7$,$8$,$9$. 经过计算,甲命中的环数平均数为$\overline { x _ { \text { 甲 } } } = 8$,方差为$s _ { \text { 甲 } } ^ { 2 } = 3.2$.
(1)求乙命中的环数平均数$\overline { x _ { \text { 乙 } } }和方差s _ { \text { 乙 } } ^ { 2 }$.
(2)现从甲、乙两名队员中选出一人去参加射击比赛,你认为应该选哪名队员？为什么？

答案： 【解析】：
1. 首先求乙命中环数的平均数$\overline{x_{乙}}$：
根据平均数公式$\overline{x}=\frac{x_{1} + x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$，其中$n = 5$，$x_{1}=7$，$x_{2}=9$，$x_{3}=7$，$x_{4}=8$，$x_{5}=9$。
则$\overline{x_{乙}}=\frac{7 + 9+7 + 8+9}{5}=\frac{40}{5}=8$。
2. 然后求乙命中环数的方差$s_{乙}^{2}$：
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$。
这里$n = 5$，$\overline{x_{乙}} = 8$，$x_{1}=7$，$x_{2}=9$，$x_{3}=7$，$x_{4}=8$，$x_{5}=9$。
则$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(7 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}]$
先计算各项：$(7 - 8)^{2}=(-1)^{2}=1$，$(9 - 8)^{2}=1^{2}=1$，$(7 - 8)^{2}=(-1)^{2}=1$，$(8 - 8)^{2}=0^{2}=0$，$(9 - 8)^{2}=1^{2}=1$。
所以$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}(1 + 1+1 + 0+1)=\frac{4}{5}=0.8$。
3. 最后比较甲、乙两人的平均数和方差来选择参赛队员：
已知$\overline{x_{甲}}=\overline{x_{乙}} = 8$，说明甲、乙两人的平均水平相同。
又因为$s_{甲}^{2}=3.2$，$s_{乙}^{2}=0.8$，且$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$。
根据方差的意义，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。所以乙的成绩比甲更稳定。
【答案】：
(1)$\overline{x_{乙}} = 8$，$s_{乙}^{2}=0.8$；
(2)应该选乙队员去参加射击比赛. 因为甲、乙两人命中环数的平均数相同，但乙的方差小于甲的方差，说明乙的成绩比甲更稳定。