《2025年暑假生活八年级数学人教版北京教育出版社》

实际测试表明质量为 1 千克的干衣物,用水洗涤拧干,湿重为 2 千克.今用溶质质量分数为 $ 1 \% $(提示：溶质质量分数 $ = \frac { \text { 溶质质量 } } { \text { 溶液质量 } } × 100 \% $,洗衣粉溶液中溶质为洗衣粉,溶液为洗衣粉和水)的洗衣粉溶液洗涤 0.5 千克的干衣物,然后用总质量为 20 千克的清水分两次漂洗.假设在洗涤和漂洗的过程中,残留在衣物中的溶液的溶质质量分数和它所在的溶液的溶质质量分数相等,且每次洗涤、漂洗后都需拧干再进入下一道操作.问：怎样分配这 20 千克清水的用量,可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液的溶质质量分数最小？残留在衣物上的洗衣粉有多少毫克？(保留三位有效数字)

答案： 【解析】：
设第一次漂洗用清水$x$千克，则第二次漂洗用清水$(20 - x)$千克。
1. 首先计算洗涤后衣物上洗衣粉的质量：
已知用溶质质量分数为$1\%$的洗衣粉溶液洗涤$0.5$千克干衣物，洗涤拧干后湿重为$0.5 + (2 - 1)=1$千克（因为$1$千克干衣物洗涤拧干后湿重$2$千克，所以$0.5$千克干衣物洗涤拧干后湿重$1$千克）。
那么洗涤后衣物上洗衣粉的质量为$1×1\% = 0.01$千克。
2. 然后计算第一次漂洗后衣物上洗衣粉的质量分数和质量：
第一次漂洗后，衣物拧干后湿重仍为$1$千克，此时洗衣粉溶液的质量分数为$\frac{0.01}{x + 1}$，则第一次漂洗后衣物上洗衣粉的质量为$1×\frac{0.01}{x + 1}=\frac{0.01}{x + 1}$千克。
3. 接着计算第二次漂洗后衣物上洗衣粉的质量分数和质量：
第二次漂洗后，衣物拧干后湿重还是$1$千克，此时洗衣粉溶液的质量分数为$\frac{\frac{0.01}{x + 1}}{(20 - x)+1}=\frac{0.01}{(x + 1)(21 - x)}$。
设$y=(x + 1)(21 - x)=-x^{2}+20x + 21$，对于二次函数$y =-x^{2}+20x + 21$，其二次项系数$a=-1\lt0$，图象开口向下，对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-1)} = 10$。
当$x = 10$时，$y$有最大值，$y_{max}=-10^{2}+20×10 + 21=-100 + 200+21 = 121$。
即当$x = 10$时，$\frac{0.01}{(x + 1)(21 - x)}$有最小值，也就是两次漂洗用的清水均为$10$千克时，残留在衣物上的洗衣粉溶液的溶质质量分数最小。
4. 最后计算残留在衣物上的洗衣粉的质量：
当$x = 10$时，残留在衣物上的洗衣粉的质量为$1×\frac{0.01}{(10 + 1)(21 - 10)}=\frac{0.01}{11×11}=\frac{0.01}{121}$千克。
因为$1$千克$ = 10^{6}$毫克，所以$\frac{0.01}{121}$千克$=\frac{0.01}{121}×10^{6}$毫克$\approx82.6$毫克。
【答案】：两次漂洗用的清水均为$10$千克时，残留在衣物上的洗衣粉溶液的溶质质量分数最小；残留在衣物上的洗衣粉约有$82.6$毫克。