《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

22. 如图1-7-20,已知$AB= 10$,P是线段AB上的动点,分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边三角形ACP和PDB,连接CD。设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,求点G运动路径的长度。

答案：
解:如图所示,分别延长 $ A C, B D $ 交于点 $ H $。
$ \because \triangle A P C $ 和 $ \triangle B P D $ 是等边三角形,
$ \therefore \angle A = \angle B = 60 ^ { \circ } $,

$ \therefore \triangle A H B $ 是等边三角形。
$ \because \angle A = \angle D P B = 60 ^ { \circ } $,
$ \therefore A H // P D $。
$ \because \angle B = \angle C P A = 60 ^ { \circ }, \therefore B H // P C $,
$ \therefore $ 四边形 $ C P D H $ 为平行四边形,
$ \therefore C D $ 与 $ H P $ 互相平分。
$ \because G $ 为 $ C D $ 的中点,
$ \therefore G $ 正好为 $ P H $ 的中点。
$ \because \triangle A B H $ 是等边三角形,
$ \therefore $ 在 $ P $ 的运动过程中, $ G $ 始终为 $ P H $ 的中点,
$ \therefore $ 点 $ G $ 的运动轨迹为 $ \triangle H A B $ 的中位线 $ M N $。
$ \because M N = \frac { 1 } { 2 } A B = 5 $,
$ \therefore $ 点 $ G $ 的运动路径的长度为 5。