《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

18. 解下列方程。
(1)$\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3x + 3} + 1$；
(2)$\frac{3}{x^{2} + 2x} - \frac{1}{x^{2} - 2x} = 0$。

答案：
(1)$x = -\frac{3}{2}$,经检验,$x = -\frac{3}{2}$是原方程的根。
(2)$x = 4$,经检验,$x = 4$是原方程的根。

19. 先化简,再求值。
(1)$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{1 + x}$,其中$x = \frac{1}{2}$；
(2)$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} ÷ (\frac{1 - 2x}{x - 1} - x + 1)$,其中x满足$x^{2} + 7x = 0$。

答案： 解:
(1)原式$=\frac{1 - x}{1 + x}$,当$x=\frac{1}{2}$时,原式$=\frac{1}{3}$。
(2)原式$=-\frac{1}{x + 1}$。
$\because x^{2}+7x = 0,x(x + 7)=0$,
$\therefore x$的值为0或$-7$。
当$x = 0$时,除式$\frac{1 - 2x}{x - 1}-x + 1 = 0$,
$\therefore x$不能为0,$\therefore x = - 7$。
当$x = - 7$时,原式$=-\frac{1}{-7 + 1}=-\frac{1}{-6}=\frac{1}{6}$。

20. 关于x的分式方程$\frac{x + k}{x + 1} + \frac{2x}{x + 1} = 1$的解为非正数,求k的取值范围。

答案： 解:去分母,得$x + k + 2x = x + 1$,解得$x=\frac{1 - k}{2}$。
由分式方程的解为非正数,
得$\frac{1 - k}{2}\leq0$,且$\frac{1 - k}{2}\neq - 1$,
解得$k\geq1$且$k\neq3$。