《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

21. 2024年龙年春晚吉祥物是“龙辰辰”。作为中华民族重要的精神象征和文化符号,千百年来,龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域,也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意。吉祥物“龙辰辰”的出现受到众人的热捧。某工厂加急生产了一批A,B两种材质的该吉祥物进行售卖,已知B材质的吉祥物比A材质的每个贵50元,用3000元购买A材质的吉祥物数量是用1500元购买B材质吉祥物数量的4倍。
(1) 求购买一个A材质、一个B材质的吉祥物各需多少元。
(2) 一所中学为了激励学生奋发向上,准备用不超过3000元购买A,B两种材质的吉祥物共50个来奖励学生。恰逢工厂对两种材质吉祥物的价格进行了调整：A材质的吉祥物的价格按售价的九折出售,B材质的吉祥物比售价提高了20%,那么该学校此次最多可购买多少个B材质的吉祥物？

答案： 解:
(1)设购买一个A材质的吉祥物需$x$元,则购买一个B材质的吉祥物需$(x + 50)$元。
依题意,得$\frac{3000}{x}=\frac{1500}{x + 50}\times4$,
解得$x = 50$。
经检验,$x = 50$是原方程的根,且符合题意,
$\therefore x + 50 = 100$。
答:购买一个A材质的吉祥物需50元,购买一个B材质的吉祥物需100元。
(2)设该学校此次购买$m$个B材质的吉祥物,则购买$(50 - m)$个A材质的吉祥物。
依题意,得$50\times90\%(50 - m)+100\times(1 + 20\%)m\leq3000$,
解得$m\leq10$。
$\therefore m$的最大值为10。
答:该学校此次最多可购买10个B材质的吉祥物。

22. 已知下面一列等式：
$1 × \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$；$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$；$\frac{1}{3} × \frac{1}{4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$；$\frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$；…
(1) 请你按这些等式两边的结构特征写出它的一般性等式；
(2) 验证一下你写出的等式是否成立；
(3) 利用等式化简：
$\frac{1}{x(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 4)}$。

答案： 解:
(1)由$1\times\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$;$\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$;$\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$;$\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$;$\cdots$可知它的一般性等式为$\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n + 1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
(2)$\because\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 1}{n(n + 1)}-\frac{n}{n(n + 1)}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n + 1}$,
$\therefore$原等式成立。
(3)$\frac{1}{x(x + 1)}+\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}+\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}+\frac{1}{(x + 3)(x + 4)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}+\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 4}=\frac{4}{x^{2}+4x}$。