《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

19. 如图1-4-15,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC= ∠EDF= 90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与线段CA相交于点Q,且AP= AQ。求证：△BPE≌△CQE。

答案： 证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC。
∵AP=AQ，
∴BP=CQ。
又
∵E是BC的中点，
∴BE=CE。
在△BPE和△CQE中，{BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ}，
∴△BPE≌△CQE(SAS)。

20. 如图1-4-16,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点,且BE+DF= EF。求∠EAF的度数。

答案：
解：如图所示，把△ABE绕A点旋转到△ADG，则DG=BE，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ABE=∠GDA。
∴∠EAG=∠GAD + ∠DAE=∠BAE + ∠DAE=90°。

∵∠GDA + ∠ADF=180°，
∴G，D，F三点共线。
∵BE + DF=EF，
∴DG + DF=EF，
∴FG=EF。
在△AGF和△AEF中，{AG=AE，AF=AF，GF=EF}，
∴△AGF≌△AEF，
∴∠EAF=∠GAF=1/2×90°=45°。

21. 如图1-4-17,在正方形ABCD中,E为BC的中点,将△ABE按顺时针方向旋转后得到△CBF。
(1)指出旋转中心及旋转角度；
(2)判断AE与CF的位置关系；
(3)如果正方形的面积为$16cm^2,△BCF$的面积为$4cm^2,$那么四边形AECD的面积是多少？

答案：
(1)
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°。
∵△ABE顺时针旋转后得到△CBF，
∴旋转中心为点B，旋转角度为90°。
(2)延长AE，交CF于Q点。
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴∠BAE=∠BCF。
又
∵∠AEB=∠CEQ，∠ABC=90°，
∴∠CQE=90°，
∴AE⊥CF。
(3)
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴△ABE≌△CBF，
∴S△CBF=S△ABE=4cm²，
∴四边形AECD的面积为S正方形ABCD - S△CBF=16 - 4=12(cm²)。