《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

14. 如图1-7-12,在▱ABCD中,$∠BAD= 120^{\circ }$,连接BD,作$AE// BD$交CD的延长线于点E,过点E作$EF⊥BC$交BC的延长线于点F,且$CF= 1$,则AB的长是____。

答案： 1

15. 如图1-7-13,小新从A点出发,沿直线前进50 m后向左转$30^{\circ }$,再沿直线前进50 m,又向左转$30^{\circ }$……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,一共走了____m。

答案： 600

16. 如图1-7-14,E,F分别是▱ABCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q。若$S_{\triangle APD}= 15cm^{2},S_{\triangle BQC}= 25cm^{2}$,则阴影部分的面积为____$cm^{2}$。

答案： 40

17. 如图1-7-15,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且$BE= DF$。
求证：(1)$AE= CF$；
(2)四边形AECF是平行四边形。

答案： 证明:
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
$ \therefore AB = CD, AB // CD $,
$ \therefore \angle ABE = \angle CDF $。
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = C D, } \\ { \angle A B E = \angle C D F, } \\ { B E = D F, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F ( S A S ) $,
$ \therefore A E = C F $。
(2)$ \because \triangle A B E \cong \triangle C D F $,
$ \therefore \angle A E B = \angle C F D $,
$ \therefore \angle A E F = \angle C F E, \therefore A E // C F $。
$ \because A E = C F $,
$ \therefore $ 四边形 $ A E C F $ 是平行四边形。

18. 如图1-7-16,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,OC上,且$OB= OD,∠1= ∠2,AE= CF$。
证明：(1)$\triangle BEO\cong \triangle DFO$；
(2)四边形ABCD是平行四边形。

答案： 证明:
(1)在 $ \triangle B E O $ 和 $ \triangle D F O $ 中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle 1 = \angle 2, } \\ { O B = O D, } \\ { \angle E O B = \angle F O D, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle B E O \cong \triangle D F O ( A S A ) $。
(2)由
(1)可知 $ \triangle B E O \cong \triangle D F O $,
$ \therefore O E = O F $。
$ \because A E = C F, \therefore O A = O C $。
$ \because O B = O D $,
$ \therefore $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形。