《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

2. 通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,西瓜的半径为R。已知球的体积公式为$V= \frac{4}{3}\pi r^{3}$(其中r为球的半径),求：
(1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积；
(2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积比；
(3) 买大西瓜合算还是买小西瓜合算。

答案： 解:
(1)西瓜瓤的体积是$\frac{4}{3}\pi(R - d)^{3}$;
整个西瓜的体积是$\frac{4}{3}\pi R^{3}$。
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是$\frac{\frac{4}{3}\pi(R - d)^{3}}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{(R - d)^{3}}{R^{3}}$。
(3)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是$\frac{(R - d)^{3}}{R^{3}}=(1-\frac{d}{R})^{3}$,
故买大西瓜合算还是买小西瓜合算取决于$\frac{d}{R}$的值的大小,由题知西瓜皮厚$d$一定,故$R$增大,$\frac{d}{R}$减小,$(1-\frac{d}{R})^{3}$增大,所以买大西瓜合算。

1. 在代数式$\frac{5}{3a},\frac{7}{10},\frac{2}{2b - 1},\frac{y - 1}{2},x + \frac{y}{8}$中,分式的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

2. 下列分式中,当$x = 1$时,有意义的是()
①$\frac{1}{x - 1}$；②$\frac{2x}{x + 1}$；③$\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)}$；④$\frac{(x - 2)(x + 3)}{(x + 1)(x + 2)}$。
A. ①③
B. ②④
C. ②③
D. ①②③

答案： B

3. 若代数式$\frac{(x - 2)(x + 1)}{|x| - 1}$的值为零,则x的值为()
A. 2或-1
B. -1
C. ±1
D. 2

答案： D

4. 下列变形错误的是()
A. $\frac{-4x^{3}y^{2}}{2x^{3}y^{6}} = -\frac{2}{y^{4}}$
B. $\frac{(x - y)^{3}}{(y - x)^{3}} = -1$
C. $\frac{3x^{2}y(a - 1)^{2}}{9x^{2}(1 - a)^{2}} = -\frac{x}{3y}$
D. $\frac{12x^{3}(a - b)^{2}}{27(a - b)} = \frac{4x^{3}(a - b)}{9}$

答案： C

5. 计算$-\frac{n}{m^{2}} ÷ \frac{n^{2}}{m^{3}} ÷ \frac{m}{n^{2}}$的结果为()
A. $\frac{m^{2}}{n^{2}}$
B. $-\frac{m^{2}}{n^{3}}$
C. $-\frac{n}{m^{4}}$
D. -n

答案： D

6. 如果把分式$\frac{x}{x + y}$中的x和y都扩大到原来的3倍,那么分式的值()
A. 扩大到原来的3倍
B. 不变
C. 缩小到原来的$\frac{1}{3}$
D. 缩小到原来的$\frac{1}{6}$

答案： B