《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

20. 在一次数学兴趣小组活动中,组长要求组员画两个正方形,所画的正方形必须满足小惠和小聪提出的两个条件。
小惠说：“正方形甲的周长比正方形乙的周长长$96\mathrm{c}\mathrm{m}$。”
小聪说：“两个正方形的面积相差$960\mathrm{c}\mathrm{m}^{2}$。”
根据小惠和小聪提出的两个条件,你能算出两个正方形的边长分别是多少吗？

答案： 解:设正方形甲与正方形乙的边长分别为 $ a \mathrm { cm } $, $ b \mathrm { cm } $。
依题意,得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 4 b = 96 }, \\ { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 960 }, \end{array} \right. $
解这个方程组,得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = 32 }, \\ { b = 8 } \end{array} \right. $。
答:正方形甲与正方形乙的边长分别为
32 cm,8 cm。

21. 已知$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长,利用因式分解确定$b^{2} - a^{2} + 2ac - c^{2}$的符号。

答案： 解:原式 $ = b ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } - 2 a c + c ^ { 2 } ) = b ^ { 2 } - ( a - c ) ^ { 2 } = ( b + a - c ) ( b - a + c ) $。
$ \because a $, $ b $, $ c $ 为 $ \triangle A B C $ 的三边长,
$ \therefore a + b ＞ c $, $ b + c ＞ a $,
即 $ b + a - c ＞ 0 $, $ b - a + c ＞ 0 $,
$ \therefore ( b + a - c ) ( b - a + c ) ＞ 0 $。
故原式的符号为正。

22. 下面是某同学对多项式$(x^{2} - 4x + 2)(x^{2} - 4x + 6) + 4$进行因式分解的过程。
解：设$x^{2} - 4x = y$,
原式$=(y + 2)(y + 6) + 4$(第一步)
$= y^{2} + 8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2} - 4x + 4)^{2}$。(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______；
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______(填“彻底”或“不彻底”)。若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果；
(3)请你仿照以上方法尝试对多项式$(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$进行因式分解。

答案： 解:
(1)C
(2)不彻底 $ ( x - 2 ) ^ { 4 } $
(3)设 $ x ^ { 2 } - 2 x = y $,
$ ( x ^ { 2 } - 2 x ) ( x ^ { 2 } - 2 x + 2 ) + 1 = y ( y + 2 ) + 1 = y ^ { 2 } + 2 y + 1 = ( y + 1 ) ^ { 2 } = ( x ^ { 2 } - 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ^ { 4 } $。