《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

19. 如图1-7-17,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且$DE= CF$,BE和AF的交点为M,CE和DF的交点为N。求证：$MN// AD,MN= \frac {1}{2}AD$。

答案： 证明:连接 $ E F $。
$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形,
$ \therefore A D // B C, A D = B C $。
$ \because D E = C F, \therefore A E = B F $,
$ \therefore $ 四边形 $ A B F E $ 和四边形 $ C D E F $ 都是平行四边形,
$ \therefore A M = M F, F N = N D $,
$ \therefore M N $ 是 $ \triangle A F D $ 的中位线,
$ \therefore M N // A D, M N = \frac { 1 } { 2 } A D $。

20. 如图1-7-18,点P是▱ABCD的边DC上一点,且AP和BP分别平分$∠DAB和∠CBA$。
(1)求证：$AP⊥PB$；
(2)如果$AD= 5,AP= 8$,求$\triangle APB$的面积。

答案：
(1)证明:
∵ $ A P $ 和 $ B P $ 分别平分 $ \angle D A B $ 和 $ \angle C B A $,
$ \therefore \angle P A B = \frac { 1 } { 2 } \angle D A B, \angle P B A = \frac { 1 } { 2 } \angle C B A $。
又 $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形,
$ \therefore A D // B C, \therefore \angle D A B + \angle C B A = 180 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle P A B + \angle P B A = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle A P B = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore A P \perp P B $。
(2)解:
∵ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形,
$ \therefore B C = A D = 5 $。
又 $ \because A P $ 和 $ B P $ 分别平分 $ \angle D A B $ 和 $ \angle C B A $,
$ \therefore \angle P A B = \angle P A D = \angle D P A $,
$ \therefore D P = A D = 5 $。
同理 $ P C = B C = 5 $。
$ \therefore A B = D C = D P + P C = 10 $。
$ \therefore $ 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A P B $ 中,由勾股定理,得 $ B P = \sqrt { A B ^ { 2 } - A P ^ { 2 } } = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 8 ^ { 2 } } = 6 $,
$ \therefore \triangle A P B $ 的面积是 $ \frac { 1 } { 2 } A P \cdot B P = \frac { 1 } { 2 } \times 8 \times 6 = 24 $。

21. 张大伯承包了一个四边形的池塘,如图1-7-19,它的四个角A,B,C,D处均有一棵核桃树,张大伯今年养鱼喜获丰收,明年准备把池塘面积扩大一倍,但又不想毁掉这四棵大树,并且扩建后的池塘呈平行四边形形状。张大伯这一设想是否能实现？请你帮助他解决一下,画出草图,并说明理由。

答案：
解:张大伯这一设想能实现,如图所示。

连接对角线 $ A C, B D $ 交于点 $ O $,过点 $ A $ 作 $ B D $ 的平行线,过点 $ C $ 作 $ B D $ 的平行线,过点 $ B $ 作 $ A C $ 的平行线,过点 $ D $ 作 $ A C $ 的平行线。
四条平行线依次交于 $ M, N, G, H $ 四点,则可得 $ \square A O D H, \square A O B M, \square B O C N, \square O C G D $。
在 $ \triangle A H D $ 和 $ \triangle A O D $ 中, $ A O = H D, A H = O D, A D = A D $,
$ \therefore \triangle A H D \cong \triangle A O D $,
$ \therefore S _ { \triangle A H D } = S _ { \triangle A O D } $。
同理可证, $ S _ { \triangle C O D } = S _ { \triangle C G D }, S _ { \triangle A M B } = S _ { \triangle A O B } $, $ S _ { \triangle C O B } = S _ { \triangle B N C } $。
$ \therefore S _ { \square M N G H } = 2 S _ { \text { 四边形 } A B C D }, \square M N G H $ 即为所求。