《2025年暑假作业与生活八年级数学北师大版陕西师范大学出版总社有限公司》

先阅读下列材料,再解答后面的问题：
因式分解：$(x + y)^{2} + 2(x + y) + 1$。
解：将“$x + y$”看成整体,令$x + y = A$,
则原式$= A^{2} + 2A + 1 = (A + 1)^{2}$。
再将“$A$”还原,原式$=(x + y + 1)^{2}$。
上述解题用到的是“整体思想”。请你利用“整体思想”解答下列问题：
(1)因式分解：$1 + 2(x - y) + (x - y)^{2} = $______；
(2)因式分解：$(a + b)(a + b - 4) + 4$；
(3)若$n$为正整数,说明代数式$(n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1$的值一定是某一个整数的平方。

答案： 解：
(1)$1 + 2(x - y) + (x - y)^{2} = (x - y + 1)^{2}$。

(2)令$A = a + b$,则原式$= A(A - 4) + 4 = A^{2} - 4A + 4 = (A - 2)^{2}$,
故$(a + b)(a + b - 4) + 4 = (a + b - 2)^{2}$。

(3)$(n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1$
$=(n^{2} + 3n)[(n + 1)(n + 2)] + 1$
$=(n^{2} + 3n)(n^{2} + 3n + 2) + 1$
$=(n^{2} + 3n)^{2} + 2(n^{2} + 3n) + 1$
$=(n^{2} + 3n + 1)^{2}$。
$\because n$为正整数,
$\therefore n^{2} + 3n + 1$也为正整数,
$\therefore代数式(n + 1)(n + 2)(n^{2} + 3n) + 1$的值一定是某一个整数的平方。