《2025年实验班提优训练暑假衔接版七升八年级数学人教版》

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B = ∠C$,$∠BAD = 40^{\circ}$,且$∠ADE = ∠AED$,求$∠CDE$的度数.

答案： 解：设$\angle DAE = x^{\circ}$，则$\angle BAC = 40^{\circ} + x^{\circ}$。
$\because \angle B = \angle C$，
$\therefore 2\angle C = 180^{\circ} - \angle BAC$，
$\therefore \angle C = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle BAC = 90^{\circ} - \frac{1}{2}(40^{\circ} + x^{\circ})$。
$\because \angle ADE = \angle AED$，
$\therefore 2\angle AED = 180^{\circ} - \angle DAE$，
$\therefore \angle AED = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle DAE = 90^{\circ} - \frac{1}{2}x^{\circ}$。
$\because \angle AED = \angle C + \angle CDE$，
$\therefore \angle CDE = \angle AED - \angle C$
$= (90^{\circ} - \frac{1}{2}x^{\circ}) - [90^{\circ} - \frac{1}{2}(40^{\circ} + x^{\circ})]$
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2}x^{\circ} - 90^{\circ} + 20^{\circ} + \frac{1}{2}x^{\circ}$
$= 20^{\circ}$。
答：$\angle CDE$的度数为$20^{\circ}$。

13. 在$\triangle ABC$中,$∠ACB ＞ ∠ABC$,$D$,$E分别是边BC和BC$延长线上的点,连接$AD$,$AE$,$∠CAE = ∠B$.
(1)如图(1),若$∠ADE = 60^{\circ}$,$∠CAE = 40^{\circ}$,求$∠BAD$的度数；
(2)如图(2),已知$∠DAE = ∠ADE$,判断$AD是否平分∠BAC$,并说明理由.

答案：
(1) 解：
∵∠CAE=∠B，∠CAE=40°，
∴∠B=40°。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD。
∵∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠ADE-∠B=60°-40°=20°。
(2) AD平分∠BAC。理由如下：
∵∠DAE=∠ADE，
∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD。
∵∠CAE=∠B，
∴∠DAC=∠BAD，
∴AD平分∠BAC。

14. 如图,已知$CD平分∠ACB$,$∠1 = ∠2$,若$∠3 = 30^{\circ}$,$∠B = 25^{\circ}$,求$∠BDE$.

答案： 解：
∵ CD 平分∠ACB，
∴ ∠2 = ∠3。
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = 30°，
∴ ∠1 = ∠3 = 30°。
∴ AC // DE（内错角相等，两直线平行）。
∴ ∠ACB = ∠DEB（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠ACB = ∠2 + ∠3 = 30° + 30° = 60°，
∴ ∠DEB = 60°。
在△BDE 中，∠B = 25°，∠DEB = 60°，
∴ ∠BDE = 180° - ∠B - ∠DEB = 180° - 25° - 60° = 95°。

15. 中考新考法 类比猜想 如图,在$\triangle ABC$中,点$E在AC$上,$∠AEB = ∠ABC$.
(1)如图(1),作$∠BAC的平分线AD$,分别交$CB$,$BE于D$,$F$两点,求证：$∠EFD = ∠ADC$.
(2)如图(2),作$\triangle ABC的外角∠BAG的平分线AD$,分别交$CB$,$BE的延长线于D$,$F$两点,试探究(1)中结论是否仍成立？为什么？

答案：
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC。
∵∠EFD是△AEF的外角，
∴∠EFD=∠DAC+∠AEB。
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD。
又
∵∠AEB=∠ABC，
∴∠EFD=∠ADC。
(2)
(1)中结论仍成立。
理由如下：
∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD=∠GAD。
∵∠FAE与∠GAD是对顶角，
∴∠FAE=∠GAD，
∴∠FAE=∠BAD。
∵∠AEB是△AFE的外角，
∴∠AEB=∠EFD+∠FAE，即∠EFD=∠AEB-∠FAE。
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠ABC=∠ADC+∠BAD，即∠ADC=∠ABC-∠BAD。
又
∵∠AEB=∠ABC，
∴∠EFD=∠ADC。