《2025年实验班提优训练暑假衔接版七升八年级数学人教版》

22. 如图,在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“马”位于点 $ (2,2) $,“炮”位于点 $ (-1,2) $,写出“兵”所在位置的坐标。

答案： 解：根据题意，“马”位于点$(2,2)$，“炮”位于点$(-1,2)$。观察棋盘可知，“兵”在“炮”的左一格，上一格。“炮”的坐标为$(-1,2)$，向左一格即横坐标减1，变为$-1 - 1=-2$；向上一格即纵坐标加1，变为$2 + 1=3$。所以“兵”所在位置的坐标为$(-2,3)$。
$(-2,3)$

23. 已知点 $ P(2a - 2,a + 5) $,解答下列各题：
(1) 若点 $ Q $ 的坐标为 $ (4,5) $,直线 $ PQ// y $ 轴,求点 $ P $ 的坐标；
(2) 若点 $ P $ 在第二象限,且它到 $ x $ 轴,$ y $ 轴的距离相等,求 $ a^{2025}+\sqrt[3]{a} $ 的值。

答案： 23.
(1)$\because$直线$PQ // y$轴，
$\therefore 2a - 2 = 4$，解得$a = 3$，
$\therefore a + 5 = 3 + 5 = 8$，$\therefore P(4,8)$。
(2)$\because$点$P$在第二象限，且它到$x$轴，$y$轴的距离相等，
$\therefore |2a - 2| = |a + 5|$，$2a - 2 ＜ 0$，$a + 5 ＞ 0$，
$\therefore 2 - 2a = a + 5$，解得$a = -1$，
$\therefore$原式$= (-1)^{2025} + \sqrt[3]{-1} = -1 + (-1) = -2$。

24. 已知点 $ P(a - 2,2a + 8) $,分别根据下列条件求出点 $ P $ 的坐标：
(1) 点 $ P $ 在 $ x $ 轴上；
(2) 点 $ P $ 在 $ y $ 轴上；
(3) 点 $ Q $ 的坐标为 $ (1,5) $,直线 $ PQ// y $ 轴；
(4) 点 $ P $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等。

答案： 24.
(1)$\because$点$P(a - 2,2a + 8)$在$x$轴上，
$\therefore 2a + 8 = 0$，解得$a = -4$。
$\therefore a - 2 = -4 - 2 = -6$。$\therefore$点$P$的坐标为$(-6,0)$。
(2)$\because$点$P(a - 2,2a + 8)$在$y$轴上，
$\therefore a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
$\therefore 2a + 8 = 2×2 + 8 = 12$。$\therefore$点$P$的坐标为$(0,12)$。
(3)$\because$点$Q$的坐标为$(1,5)$，直线$PQ // y$轴，
$\therefore a - 2 = 1$，解得$a = 3$。
$\therefore 2a + 8 = 14$。$\therefore$点$P$的坐标为$(1,14)$。
(4)$\because$点$P$到$x$轴、$y$轴的距离相等，
$\therefore a - 2 = 2a + 8$或$a - 2 + 2a + 8 = 0$。
解得$a = -10$或$a = -2$。
当$a = -10$时，$a - 2 = -12$，$2a + 8 = -12$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(-12,-12)$；
当$a = -2$时，$a - 2 = -4$，$2a + 8 = 4$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(-4,4)$。
综上所述，点$P$的坐标为$(-12,-12)$或$(-4,4)$。

25. 在平面直角坐标系中,对于点 $ A(x,y) $,若点 $ B $ 的坐标为 $ (kx + y,x - ky) $,则称点 $ B $ 为点 $ A $ 的“$ k $ 级关联点”,如点 $ A(2,5) $ 的“2 级关联点”点 $ B $ 的坐标为 $ (2×2 + 5,2 - 2×5) $,即 $ B(9,-8) $。
(1) 已知点 $ P(-4,2) $ 的“-3 级关联点”为 $ P_{1} $,求点 $ P_{1} $ 的坐标,并写出点 $ P_{1} $ 到 $ y $ 轴的距离；
(2) 已知点 $ Q $ 的“4 级关联点”为 $ Q_{1}(-11,10) $,求点 $ Q $ 的坐标及所在象限；
(3) 如果点 $ M(a,a + 2) $ 的“2 级关联点” $ M_{1} $ 在 $ x $ 轴上,求点 $ M_{1} $ 的坐标。

答案： 25.
(1)$\because$点$P(-4,2)$的“$-3$级关联点”的横坐标为$-3×(-4) + 2 = 14$，纵坐标为$-4 - (-3)×2 = 2$，
$\therefore$点$P_1$的坐标为$(14,2)$，点$P_1$到$y$轴的距离为14。
(2)设点$Q$的坐标为$(a,b)$，
$\because$点$Q$的“4级关联点”为$Q_1(-11,10)$，
$\therefore 4a + b = -11$，$a - 4b = 10$，
解得$a = -2$，$b = -3$，
$\therefore$点$Q$的坐标为$(-2,-3)$，
点$Q$所在的象限为第三象限。
(3)点$M_1$的坐标为$(m,0)$，
$\because$点$M(a,a + 2)$的“2级关联点”为$M_1$，
$\therefore a - 2(a + 2) = 0$，
$\therefore a = -4$，
$\therefore a + 2 = -2$，
$\therefore m = 2×(-4) + (-2) = -10$，
$\therefore$点$M_1$的坐标为$(-10,0)$。