《2025年实验班提优训练暑假衔接版七升八年级数学人教版》

23. 已知$M= \sqrt[m-4]{m+3}是m+3$的算术平方根,$N= \sqrt[2 m-4 n+3]{n-2}是n-2$的立方根,求$M-N$的平方根.

答案： $\because M = \sqrt[m - 4]{m + 3}$ 是 $m + 3$ 的算术平方根,
$\therefore m - 4 = 2$, 解得 $m = 6$, $\therefore M = \sqrt{9} = 3$.
$\because N = \sqrt[2m - 4n + 3]{n - 2}$ 是 $n - 2$ 的立方根,
$\therefore 2m - 4n + 3 = 3$, 即 $12 - 4n + 3 = 3$,
解得 $n = 3$,
$\therefore N = \sqrt[3]{3 - 2} = 1$, $\therefore M - N = 3 - 1 = 2$,
$\therefore M - N$ 的平方根是 $\pm \sqrt{2}$.

24. 中考新考法 类比猜想 我们知道$a+b= 0$时,$a^{3}+b^{3}= 0$也成立,若将a看成$a^{3}$的立方根,b看成$b^{3}$的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1)试举一个例子来判断上述猜想结论是否成立;
(2)若$\sqrt[3]{1-2 x}与\sqrt[3]{3 x-5}$互为相反数,求$1-\sqrt{x}$的值.

答案：
(1)成立. 举例如下: 1 和 -1 互为相反数,
即 $1 + (-1) = 0$, 有 $1^{3} + (-1)^{3} = 0$.
(2)$1 - 2x + 3x - 5 = 0$, 解得 $x = 4$,
故原式 $= 1 - 2 = -1$.

25. 阅读下面的文字,解答问题:
$\because 2^{2}＜7＜3^{2}, \therefore 2＜\sqrt{7}＜3$.
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$(\sqrt{7}-2)$.
请解答:
(1)$\sqrt{10}$的整数部分是3,小数部分是$\sqrt{10}-3$;
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为a,$\sqrt{37}$的整数部分为b,求$a+b-\sqrt{5}$的值.4

答案：
(1)3 $\sqrt{10} - 3$
(2)$\because 2^{2} ＜ 5 ＜ 3^{2}$, $\therefore 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$.
$\therefore \sqrt{5}$ 的小数部分为 $a = \sqrt{5} - 2$.
$\because 6^{2} ＜ 37 ＜ 7^{2}$, $\therefore 6 ＜ \sqrt{37} ＜ 7$.
$\therefore \sqrt{37}$ 的整数部分为 $b = 6$.
$\therefore a + b - \sqrt{5} = (\sqrt{5} - 2) + 6 - \sqrt{5} = 4$.

26. 先观察下列等式,再回答下列问题:
①$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}= 1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}= 1 \frac{1}{2}$;
②$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}= 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}= 1 \frac{1}{6}$;
③$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}= 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}= 1 \frac{1}{12}$;
…
(1)请根据上面三个等式提供的信息,猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}$的结果,并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数).

答案：
(1)猜想: $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4 + 1} = \frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}$.
验证: $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{441}{400}} = 1\frac{1}{20}$.
(2)$\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)}$.