《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

1. 如图，AC 与 BD 交于点 E，且 $ AB = CD $，$ ∠A = ∠D $，求证：$ BE = CE $。

答案： 证明：在$\triangle ABE$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle A=\angle D,\\ \angle AEB=\angle DEC,\\ AB=CD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE\cong \triangle DCE(AAS),\therefore BE=CE.$

2. 如图，$ AB⊥CD $于点 B，$ CF⊥AD $交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，$ BC = AB $，求证：$ BE = BD $。

答案： 证明：$\triangle BCE\cong \triangle BAD.$

3. 如图，$ AB = AC $，$ BE⊥AC $于点 E，$ CD⊥AB $于点 D，BE，CD 交于点 O，求证：$ OB = OC $。

答案： 证明：$\triangle ABE\cong \triangle ACD(AAS),AD=AE,BD=CE,\triangle BDO$$\cong \triangle CEO(AAS).$

4. 如图，已知 AD 是$ △ABC $的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 $ BF = AC $，$ FD = CD $，求证：$ BE⊥AC $。

答案： 证明：证$Rt\triangle BDF\cong Rt\triangle ADC,\therefore \angle BFD=\angle C$，又$\angle BFD+$$\angle FBD=90^{\circ },\therefore \angle C+\angle FBD=90^{\circ },$
$\therefore \angle BEC=90^{\circ }$，即$BE\perp AC.$

5. 如图，在$ △ABC $中，点 D 为 BC 中点，$ DE⊥AB $于 E，$ DF⊥AC $于 F，若 $ DE = DF $，求证：$ AB = AC $。

答案： 证明：方法一：连$AD$，$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF(HL),\therefore BE=$
$CF,Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF(HL),\therefore AE=CF,\therefore AB=$
$AC;$
方法二：由$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$得$AB=AC.$