《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

三、解答题（本大题共8个小题，共55分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本题共2个小题，每小题4分，共8分）计算：
（1）$(\frac{1}{2})^{-3}-(-1)^{2}+(\pi - 1)^{0}$. （2）$(-2ab)^{2}\cdot8a^{4}b^{2}\div(-16a^{2}b)$.

答案： 解：
(1)原式 = 8 - 1 + 1 = 8.
(2)原式$ = 4a^{2}b^{2}·8a^{3}b^{2}÷(-16a^{2}b)=32a^{5}b^{4}÷(-16a^{2}b)=-2a^{3}b^{3}.$

17.（本题6分）先化简，再求值：$[(3x + y)^{2}-(3x + y)(3x - y)-6y^{2}]\div(-2y)$，其中$x = 1$，$y = -2$.

答案： 解：原式$ = [9x^{2}+6xy + y^{2}-(9x^{2}-y^{2})-6y^{2}]÷(-2y)=(9x^{2}+6xy + y^{2}-9x^{2}+y^{2}-6y^{2})÷(-2y)=(6xy - 4y^{2})÷(-2y)=-3x + 2y.$当x = 1，y = -2时，原式 = -3×1 + 2×(-2)=-7.

18.（本题6分）如图，为改善一线环卫工人的工作环境，某社区服务中心计划修建一个“爱心驿站”，请你帮忙确定“爱心驿站$P$”所在的位置，要求：
①“爱心驿站”到公路$AB$和$BC$的距离相等；
②“爱心驿站”到两个小区$M$，$N$的距离相等；
③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.

答案： 解：如图，作∠ABC的平分线和线段MN的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求.

19.（本题6分）为了培养学生的科技创新能力，我校开展“科技创新展”活动. 如图，这是某班级根据同学们上交的各类作品（每个人只交一个作品）绘制的统计表：
|作品类型|小制作|小发明|科技绘画|其他|
|----|----|----|----|----|
|数量/个|14|10|18|8|
请根据上表提供的信息，回答下列问题：
（1）如果从这个班的所有作品中，随机选择一个作品进行点评，那么正好选中“小发明”的概率是多少？
（2）如果准备在“小发明”和“小制作”的作者中随机选择一名作为本班作品的“解说员”，那么正好选中“小发明”的作者的概率是多少？

答案： 解：
(1)由表格可得，总数量为14 + 10 + 18 + 8 = 50(个)，
∵“小发明”有10个，
∴正好选中“小发明”的概率是$\frac{10}{50}$=$\frac{1}{5}$.
(2)由题可得，“小发明”有10个，“小制作”有14个，这两种一共有10 + 14 = 24(个)，
∴正好选中“小发明”的作者的概率是$\frac{10}{24}$=$\frac{5}{12}$.