《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

23.(本题12分)问题探究:
　　当$abc\neq0$时，要说明$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$不成立，下面三位同学提供了三种不同的思路:
　　(1)小明说:“不妨设$a = 1$，$b = 2$，$c = 3$，通过计算能发现式子不成立。"请据此完成说理过程.
　　(2)小刚说:“根据整式乘法的运算法则，通过计算能发现式子不成立。"请据此完成说理过程.
　　(3)小丽说:“构造正方形，通过计算面积能发现式子不成立。"请据此画出图形，并完成说理过程.
拓展延伸:
　　(4)类比小刚发现的数学等式，解决下面的问题:
　　　已知$a + c = b + 4$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=110$，则$4ac - 4b(a + c)$的值是______________.

答案：
解：
(1)当a = 1，b = 2，c = 3时，(a + b + c)²=(1 + 2 + 3)²=36，a² + b² + c²=1² + 2² + 3²=1 + 4 + 9=14.
∵36≠14，
∴(a + b + c)²≠a² + b² + c².
(2)
∵(a + b + c)²=(a + b + c)(a + b + c)=a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc，而abc≠0，
∴(a + b + c)²≠a² + b² + c².
(3)如图，(a + b + c)²=a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc，即(a + b + c)²≠a² + b² + c².
(4) - 188　　[答案详解]由
(2)可得，(a + b + c)²=a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc，
∴(a - b + c)²=a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc.
∵a + c=b + 4，
∴a - b + c=4.
∵a² + b² + c²=110，
∴16=100 - 2ab + 2ac - 2bc.
∴2ac - 2ab - 2bc=16 - 110=-94.
∴4ac - 4ab - 4bc=-188，即4ac - 4b(a + c)=-188. 故答案为：-188.