《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

17.(本题8分)如图，在△ABC中，点D在边AC上，AB=BD=CD。若∠A=50°，求∠C的度数。

答案： 解:在△ABC中，
∵AB = BD，∠A = 50°，
∴∠A = ∠ADB = 50°.
∵∠ADB + ∠BDC = 180°，∠DBC + ∠C + ∠BDC = 180°，
∴∠ADB = ∠DBC + ∠C. 在△ABD中，
∵CD = BD，
∴∠DBC = ∠C = $\frac{1}{2}$∠ADB = 25°.

18.(本题8分)如图，射线AD平分∠BAC。
(1)尺规作图：作BC的垂直平分线，交AD于点P，交BC点Q，交AB于点R。(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若∠B=30°，∠C=50°，求∠DPQ的度数。

答案：
解:
(1)如图所示，直线RQ即为所求.
(2)
∵∠B = 30°，∠C = 50°，
∴∠BAC = 180° - 30° - 50° = 100°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 50°.
∴∠ADC = 180° - 50° - 50° = 80°.
∴∠PDQ = ∠ADC = 80°.
∵QR垂直平分BC，
∴∠PQD = 90°.
∴∠DPQ = 180° - 90° - 80° = 10°.

19.(本题8分)如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一条直线上。试说明：
(1)CE=AC+CD。
(2)∠ECD=60°。

答案： 解:
(1)
∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AE = AD，BC = AC = AB，∠BAC = ∠DAE = 60°.
∴∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD = ∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD = CE.
∵BD = BC + CD = AC + CD，
∴CE = BD = AC + CD.
(2)由
(1)知，△BAD≌△CAE，
∴∠ACE = ∠ABD = 60°.
∴∠ECD = 180° - ∠ACB - ∠ACE = 60°.