《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

19.（本题8分）阅读理解：若一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$（$a$，$b$是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”. 例如：5是“完美平方数”，因为$5 = 1^{2}+2^{2}$. 再如$M = x^{2}+2xy + 2y^{2}=(x + y)^{2}+y^{2}$（$x$，$y$是非零整数且$x + y\neq0$），所以$M$也是“完美平方数”.
（1）请你写一个小于20的“完美平方数”：______________.
（2）请判断32，33是否为“完美平方数”，并说明理由.
（3）已知$S = x^{2}+4x + k$（$x$是整数，$k$是常数），若要使$S$为“完美平方数”，请直接写出符合条件的一个$k$值.

答案：  19.解：
(1)10(答案不唯一) 【答案详解】
∵10 = 3^{2}+1^{2}，
∴10是“完美平方数”.故答案为：10(答案不唯一).
(2)32是“完美平方数”，33不是“完美平方数”.理由如下：32 = 4^{2}+4^{2}，33找不到满足33 = a^{2}+b^{2}的a，b的值，故33不是“完美平方数”.
(3)
∵S = x^{2}+4x + k(x是整数，k是常数)，且S为“完美平方数”，
∴当k = 5时，则S = x^{2}+4x + 5 = x^{2}+4x + 4 + 1=(x + 2)^{2}+1^{2}.
∴符合条件的一个k值为5. 

20.（本题8分）张大爷承包的鱼塘今年计划投放三种鱼苗，其中鲤鱼1200条，草鱼400条和鲫鱼若干条，如果从水中随意打捞一条，捞出草鱼的概率是$\frac{1}{6}$.
（1）求从水中随意捞出的一条鱼是鲫鱼的概率.
（2）张大爷了解到买草鱼的老百姓比较多，于是计划再投放$m$条草鱼，使随意捞出的一条鱼是草鱼的概率为$\frac{1}{3}$，请求出$m$的值.

答案： 20.解：
(1)鱼苗总数为400÷$\frac{1}{6}$ = 2400(条)，
∴P(捞出鲫鱼)=$\frac{2400 - 1200 - 400}{2400}$=$\frac{1}{3}$.
(2)依题意，得400 + m = $\frac{1}{3}$(2400 + m)，解得m = 600.

21.（本题9分）跳伞运动以自身的惊险性和挑战性，被世人誉为“勇敢者的运动”. 跳伞过程主要包括离机、自由坠落、开伞、降落和着陆五个环节. 在某次跳伞过程中，一位运动员从高空直升机上由静止开始竖直跳下，经过20 s后，开始做匀速直线运动直至落地，整个过程用时40 s，如图所示的是该运动员下降时的速度随时间变化而变化的情况. 观察图象并回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是______________，因变量是______________.
（2）运动员从直升机上跳下，在打开降落伞之前，称为自由坠落，此时下落得越来越快，则该运动员自由坠落的时间为______________.
（3）20 s时，该运动员距离地面的高度是多少？
　　　　

答案：  21.解：
(1)时间 下降的速度 【答案详解】
∵运动员下降的速度随时间变化而变化，
∴自变量是时间，因变量是下降的速度.故答案为：时间；下降的速度.
(2)13 s 【答案详解】由图象可知，第13 s下降的速度最大，即运动员自由坠落的时间为13 s.故答案为：13 s.
(3)根据图象可知，20 s时，下降的速度为5 m/s，且到落地前速度不变，
∴s = 5×(40 - 20)=100(m).