《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

23.(本题13分)综合与实践：
问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为钝角，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。试判断线段DE与DF的数量关系，并说明理由。
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：DE=DF。理由如下：
∵D是BC的中点，
∴AD是边BC上的中线。
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线。(依据1)
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。(依据2)
反思交流：
(1)写出上述过程中的"依据1"和"依据2"：
依据1：____________________；依据2：____________________。
(2)请探究线段AE与AF的数量关系，并说明理由。
拓展延伸：
(3)请从下面A，B两题中任选一题作答。
A.在图1的条件下，如图2，M是线段AF上一点，作∠MDN=∠EDF，射线DN交AB于点N。试判断AM+EN=AE是否成立，并说明理由。
B.在图1的条件下，如图3，M是线段FA延长线上一点，作∠MDN=∠EDF，射线DN交线段BE于点N。试写出AM，EN与AE的数量关系，并说明理由。

答案： 解:
(1)等腰三角形的三线合一 角平分线的性质
(2)AE = AF. 理由如下：
∵D是BC的中点，
∴AD是边BC上的中线.
∵AB = AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
∴∠EAD = ∠FAD. 在△AED和△AFD中，$\begin{cases}∠EAD = ∠FAD \\ ∠AED = ∠AFD \\ AD = AD\end{cases}$，
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE = AF.
(3)选择A题，AM + EN = AE成立. 理由如下：
∵∠MDN = ∠EDF，
∴∠MDN - ∠MDE = ∠EDF - ∠MDE，即∠EDN = ∠FDM. 在△EDN和△FDM中，$\begin{cases}∠EDN = ∠FDM \\ DE = DF \\ ∠DEN = ∠DFM\end{cases}$，
∴△EDN≌△FDM(ASA).
∴EN = FM.
∴AM + EN = AM + FM = AF = AE. 选择B题，EN - AM = AE. 方法：先说明∠EDN = ∠FDM，再说明△EDN≌△FDM，得出EN = FM，最后得到EN - AM = AE.