《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

22.（本题12分）下面是小颖同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.
×年×月×日 星期日
作已知角的平分线
已知：如图1，$\angle AOB$.
求作：射线$OP$，使$OP$为$\angle AOB$的平分线.
小亮同学展示了自己的作法.
小亮的作法如图2：
（1）分别在射线$OA$，$OB$上截取$OC$，$OD$，使$OC = OD$；
（2）分别作$OC$，$OD$的垂直平分线$PG$，$PH$，两直线交于点$P$；
（3）作射线$OP$. 则射线$OP$为$\angle AOB$的平分线.
　　　　　　　　　　　　　　　　
小亮的思考过程如下：
连接$PC$，$PD$.
$\because PG$，$PH$分别是$OC$，$OD$的垂直平分线，
$\therefore PO = PC$，$PO = PD$（依据1）.
$\therefore PC = PD$（依据2）.
……
任务：
（1）小亮思考过程的依据1、依据2分别是______________、______________.
（2）请将辅助线及小亮的思考过程补充完整.
（3）请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出$\angle AOB$的平分线.（保留作图痕迹，不写作法）

答案：
22.

解：
(1)垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 等量代换
(2)补充辅助线如图2所示.在△OPC和△OPD中，$\begin{cases}PC = PD,\\OP = OP,\\OC = OD,\end{cases}$
∴△OPC≌△OPD(SSS).
∴∠AOP = ∠BOP.
∴OP为∠AOB的平分线. [此处应有对应图形，但文档中未给出具体图片编号等信息]
(3)①如图3，以点O为圆心作圆，交OA于点D，交OB于点E，连接DE；②分别以点D、点E为圆心，大于$\frac{1}{2}$DE的长为半径作圆，两圆在∠AOB的内部相交于点C；③连接OC，则OC为∠AOB的平分线. [此处应有对应图形，但文档中未给出具体图片编号等信息]