《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

22.（本题11分）（2024·太原期中）阅读与思考
下面是小丽同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

任务：
（1）请按小丽的思路完成结论的验证.
（2）按小丽的思路进一步思考：两个连续偶数平方的平均数与这两个数平均数的平方，它们的差是否也是一个确定的值？若是，请直接写出这个值；若不是，请说明理由.

答案： 解:
(1)验证:设两个连续整数分别为n和n + 1，则$M = (n^2+(n + 1)^2)/2 = (n^2 + n^2 + 2n + 1)/2 = (2n^2 + 2n + 1)/2，$$N = ((n + n + 1)/2)^2 = (4n^2 + 4n + 1)/4. $
∴$M - N = (2n^2 + 2n + 1)/2 - (4n^2 + 4n + 1)/4 = (4n^2 + 4n + 2 - 4n^2 - 4n - 1)/4 = 1/4，$即M - N的值均为1/4.
(2)设两个连续偶数分别为2n和2n + 2，它们平方的平均数为M，平均数的平方为N，则$M = ((2n)^2+(2n + 2)^2)/2 = 4n^2 + 4n + 2，$$N = ((2n + 2n + 2)/2)^2 = 4n^2 + 4n + 1. $
∴$M - N = (4n^2 + 4n + 2) - (4n^2 + 4n + 1) = 1. $故它们的差也是一个确定的值，这个值是1.