《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

18. (本题7分)操作题：
(1)如图1所示的是正方形网格，点$A$，$B$，$P$都在格点上。
①利用网格画图：过点$P$画直线$AB$的平行线$PD$，并标出平行线所经过的格点$D$；过点$P$画直线$AB$的垂线$PE$，并标出垂线所经过的格点$E$，垂足为$F$。
②线段__________的长度是点$P$到直线$AB$的距离。
(2)尺规作图：如图2、图3，已知$\angle\alpha$，$\angle\beta$，求作$\angle ABC$，使得$\angle ABC=\angle\alpha-\angle\beta$。(不写作法，但要保留作图痕迹)

答案：
解:
(1)①如图1,PD,PE即为所求
　　　 ②PF　[答案详解]线段PF的长度是点P到直线AB的距离.故答案为:PF.
(2)如图4,∠ABC即为所求.

19. (本题8分)如图，点$F$在线段$AB$上，点$E$，$G$在线段$CD$上，$AB// CD$。
(1)若$BC$平分$\angle ABD$，$\angle D = 100^{\circ}$，求$\angle ABC$的度数。
(2)若$\angle1=\angle2$，试说明：$AE// FG$。

答案： 解:
(1)
∵AB//CD,
∴∠ABD + ∠D = 180°.
∵∠D = 100°,
∴∠ABD = 180° - 100° = 80°.
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABD = 40°.
(2)
∵AB//CD,
∴∠FGC = ∠1.
∵∠1 = ∠2,
∴∠2 = ∠FGC.
∴AE//FG.

20. (本题8分)如果$a^{c}=b$，那么我们规定$(a,b)=c$。例如：因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$。
(1)根据上述规定填空：$(4,16)=$__________，$(3,1)=$__________，$(2,0.25)=$__________。
(2)若$(3,4)=a$，$(3,6)=b$，$(3,96)=c$。判断$a$，$b$，$c$之间的数量关系，并说明理由。

答案： 解:
(1)2　0　 - 2　[答案详解]
∵4² = 16,
∴(4,16)=2.
∵3⁰ = 1,
∴(3,1)=0.
∵2⁻² = $\frac{1}{4}$ = 0.25,
∴(2,0.25)= - 2.故答案为:2;0; - 2.
(2)2a + b = c.理由:
∵(3,4)=a,(3,6)=b,(3,96)=c,
∴3ᵃ = 4,3ᵇ = 6,3ᶜ = 96,
∴(3ᵃ)²×3ᵇ = 3ᶜ,即3²ᵃ⁺ᵇ = 3ᶜ.
∴2a + b = c.