《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

10.现定义运算“$\triangle$”，对于任意有理数a,b，都有$a\triangle b=a^{2}-ab + b$。例如:$3\triangle5=3^{2}-3×5 + 5=-1$，由此可知$(x - 1)\triangle(2 + x)=$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$2x - 5$　　　　　　
　B.$2x - 3$　　　　　　　
　C.$-2x + 5$　　　　　　
　D.$-2x + 3$

答案： C　[答案详解]原式=(x - 1)²-(x - 1)(2 + x)+(2 + x)=x² - 2x + 1-(x² + x - 2)+2 + x=x² - 2x + 1 - x² - x + 2 + 2 + x=-2x + 5. 故选：C.

11.计算:$(π - 2025)^{0}+(-\frac{1}{2})^{-1}=$______________.

答案： -1　[答案详解]原式=1+( - 2)=-1. 故答案为：-1.

12.若$x^{2a}=6$，则$(2x^{5a})^{2}\div4x^{6a}$的值为______________.

答案： 36　[答案详解]原式=4x¹⁰ᵃ÷4x⁶ᵃ=x⁴ᵃ.
∵x²ᵃ=6，
∴原式=(x²ᵃ)²=6²=36. 故答案为：36.

13.已知$a - b = 1$，$a^{2}+b^{2}=25$，则ab的值为______________.

答案： 12　[答案详解]
∵a - b=1，
∴(a - b)²=1.
∴a² - 2ab + b²=1.
∵a² + b²=25，
∴-2ab + 25=1.
∴ab=12. 故答案为：12.

14.已知一个三角形的面积为$8x^{3}y^{2}-4x^{2}y^{3}$，一条边长为$8x^{2}y^{2}$，则这条边上的高为______________.

答案： 2x - y　[答案详解]
∵三角形的面积为$\frac{1}{2}$底×高，
∴高为2(8x³y² - 4x²y³)÷8x²y²=16x³y²÷8x²y² - 8x²y³÷8x²y²=2x - y. 故答案为：2x - y.

15.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张。若要拼一个长为$(a + 2b)$，宽为$(a + b)$的大长方形，则需要C类卡片______________张。
　　　　　　　　　　　　　

答案： 3　[答案详解](a + 2b)(a + b)=a² + 3ab + 2b².
∵C类卡片面积为ab，
∴需要C类卡片3张. 故答案为：3.

16.(本题共4个小题，每小题3分，共12分)计算:
　　(1)$2x^{3}y\cdot(-\frac{1}{2}xy^{2})^{2}$.　　　　　　　　　　　　　(2)$(x + 2y)(x - 2y)+3y^{2}$.
　　　
　(3)$(6m^{2}n - 6m^{2}n^{2}-3m^{2})\div(-3m^{2})$.　　　　　　(4)$4(x + 1)^{2}-(2x - 5)(2x + 5)$.

答案： 解：
(1)原式=2x³y·$\frac{1}{4}$x²y⁴=$\frac{1}{2}$x⁵y⁵.
(2)原式=x² - 4y² + 3y²=x² - y².
(3)原式=-6m²n÷3m² + 6m²n²÷3m² + 3m²÷3m²=-2n + 2n² + 1.
(4)原式=4(x² + 2x + 1)-(4x² - 25)=4x² + 8x + 4 - 4x² + 25=8x + 29.

17.(本题共2个小题，每小题5分，共10分)用简便方法计算:
　(1)$498×502$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)$2024^{2}-2025×2023$.

答案： 解：
(1)原式=(500 - 2)×(500 + 2)=500² - 2²=250000 - 4=249996.
(2)原式=2024²-(2024 + 1)×(2024 - 1)=2024² - 2024² + 1=1.