《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

22.(本题10分)阅读与思考:
　　请认真阅读下列材料，并完成相应任务
　　已知$(a + b)^{2}$展开后等于$a^{2}+2ab + b^{2}$，可以利用多项式乘法法则将$(a + b)^{3}$展开。如果要进一步展开$(a + b)^{4}$，$(a + b)^{5}$，解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？如果将$(a + b)^{n}$(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下列等式:
　　　　　计算　　　　　　　　　　　　结果的项数　　　　　　各项系数
　　$(a + b)^{0}=1$　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　1
　　$(a + b)^{1}=a + b$　　　　　　　　　　　　  2　　　　　　　　　　1　　　1
　　$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$　　　　　　　　    3　　　　　　　　　1　　2　　　1
　　$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$　　　　　  4　　　　　　　1　　　3　　3　　　1
　　上表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪的著作《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”。在欧洲这个表叫作“帕斯卡三角形”，帕斯卡于1654年发现这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
　　任务:
　　(1)请根据上述规律写出下列结果:
　　　$(a + b)^{4}=$______________________________;
　　　$(a + b)^{5}=$______________________________.
　　(2)请利用“杨辉三角”计算:$2^{4}+4×2^{3}×(-\frac{1}{3})+6×2^{2}×(-\frac{1}{3})^{2}+4×2×(-\frac{1}{3})^{3}+(-\frac{1}{3})^{4}$.

答案： 解：
(1)a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴　a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
(2)原式=(2-$\frac{1}{3}$)⁴=($\frac{5}{3}$)⁴=$\frac{625}{81}$.