《2025年名校真题卷七年级数学下册北师大版山西专版》

21. (本题11分)阅读下列材料，并完成相应任务.
如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角.在反射现象中，反射角等于入射角.因为法线ON垂直于反射面，且r = i，所以∠1 = ∠2(依据).利用这个规律，人们制造了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平面镜，m是射入潜望镜的光线，n是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，在反射现象中，蕴含了丰富的数学道理.
　　　　　　　　　　　　　
任务：
(1)上述材料中的“依据”指的是____________________；如图2，若入射光线m与反射光线n平行，则AB与CD的位置关系是__________.
(2)改变两面平面镜AB，CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变.如图3，将平面镜AB与CD在B处相接，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射.若被CD反射出的光线n和光线m平行，且∠1 = 48°，求∠6的度数.

答案： 解:
(1)等角的余角相等　AB//CD　[答案详解]由材料可知，∠1 = ∠2，∠4 = ∠3.
∵m//n，
∴∠5 = ∠6.
∴180°−(∠1 + ∠2) = 180°−(∠4 + ∠3).
∴∠2 = ∠3.
∴AB//CD.故答案为:等角的余角相等;AB//CD.
(2)依题意，得∠2 = ∠1 = 48°，
∴∠5 = 180°−∠1−∠2 = 84°.
∵m//n，
∴∠6 = 180°−∠5 = 96°.

22. (本题12分)如图，直线AB，CD被直线EF，MN所截.
(1)若AB//CD，EF//MN，∠1 = 115°，试求∠3和∠4的度数.
(2)本题隐含着一个规律，请根据(1)的结果填空：如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角__________.
(3)利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数.
　　　

答案： 解:
(1)
∵AB//CD，
∴∠1 = ∠2.又
∵EF//MN，
∴∠2 = ∠3.又
∵∠1 = 115°，
∴∠3 = 115°.又
∵∠3 + ∠4 = 180°，
∴∠4 = 180°−115° = 65°.
(2)相等或互补　[答案详解]
∵∠1的两边是GB和GF，∠3的两边是HC和HM，GB//HC，GF//HM，
∴∠1 = ∠2，∠2 = ∠3.
∴∠1 = ∠3.又
∵∠1的两边是GB和GF，∠4的两边是HC和HN，GB//HC，GF//HN，
∴∠1 = ∠2，∠2 + ∠4 = 180°.
∴∠1 + ∠4 = 180°.故答案为:相等或互补.
(3)设一个角为x，则另一个角为$\frac{x}{2}$.依题意，得x = $\frac{x}{2}$(舍去)，x + $\frac{x}{2}$ = 180°，解得x = 120°.
∴另一个角为60°.
∴两个角的度数分别为120°和60°.