《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

23.(13分)综合与实践
　　问题情境:
　综合实践课上,老师提出一个问题:如图1,△ABC和△DBC是等边三角形，点E是AB上一点，点F是BC延长线上一点，BE = CF.连接DE,DF,DE交BC于点G,试判断DE与DF的数量关系,并说明理由.
　数学思考:
　(1)请你解决老师提出的问题.
　拓展探究:
　(2)在图1的基础上，“睿智小组”提出了新的问题:如图2,连接EF,试判断△DEF的形状,并说明理由.请你解决此问题.
　(3)在图2的基础上，“奋进小组”提出了新的问题:延长DC,交EF于点P,得到图3,他们认为EG = PF.请你利用图3判断他们的说法是否正确,并说明理由.
　　　　　　　 　　 　

答案： 解：
(1)DE = DF.理由如下：
∵△ABC和△DBC是等边三角形
∴∠ABC = ∠DBC = ∠BDC = ∠DCB = 60°，DB = DC，
∴∠DBE = ∠ABC + ∠DBC = 120°，
∠DCF = 180° - ∠DCB = 120°，
∴∠DBE = ∠DCF，
又
∵BE = CF，
∴△BED≌△CFD，
∴DE = DF.
(2)△DEF是等边三角形.理由如下：
由
(1)可知△BED≌△CFD，
∴∠BDE = ∠CDF，
∴∠BDE + ∠EDC = ∠CDF + ∠EDC
∴∠BDC = ∠EDF = 60°.
又
∵DE = DF，
∴△DEF是等边三角形.
(3)正确.理由如下：
∵△EDF是等边三角形，
∴∠DFE = ∠DEF = 60°，EF = DF，
∴∠DFC + ∠EFC = 60°.
∵在△BDE中，∠DBE = 120°，
∴∠BED + ∠BDE = 180° - ∠DBE = 180° - 120° = 60°，
∵∠BED = ∠DFC，
∴∠BDE = ∠EFC.
又
∵∠BDE = ∠CDF，
∴∠CDF = ∠EFC，
∴△DPF≌△FGE，
∴PF = EG.