《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

14. 过等腰三角形的一个底角顶点向对边作垂线段，若垂线段与一腰的夹角是32°，则这个等腰三角形的顶角度数是__________.

答案： 58°或122°

15. 如图，∠AOB = 120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM = PN；②OM + ON = OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变.其中结论正确的是________(填序号).
　　　　　　　

答案：
①②③
详解：如图，过点P作PE⊥OA，垂足为E，作PF⊥OB，垂足为F，

∴∠PEO = ∠PFO = 90°，
∵∠AOB = 120°，
∴∠EPF = 360° - ∠AOB - ∠PEO - ∠PFO = 60°，
∵∠MPN + ∠AOB = 180°，
∴∠MPN = 180° - ∠AOB = 60°，
∴∠MPN = ∠EPF，
∴∠MPN - ∠EPN = ∠EPF - ∠EPN，
∴∠MPE = ∠NPF，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE = PF，∠MEP = ∠NFP = 90°，
∴△MEP≌△NFP(ASA)，
∴PM = PN，ME = NF，故①正确；
∵OP = OP，PE = PF，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，
∴OE = OF，
∴OM + ON = OE + ME + OF - NF = 2OE，
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP = $\frac{1}{2}$∠AOB = 60°，
∴∠EPO = 90° - ∠EOP = 30°，
∴PO = 2OE，
∴OM + ON = OP，故②正确；
∵△MEP≌△NFP，
∴S△MEP = S△NFP，
∴四边形PMON的面积 = 四边形PEOF的面积，
∴四边形PMON的面积保持不变，故③正确；
∵PM = PN，∠MPN = 60°，
∴△PMN是等边三角形，
∵MN的长度是变化的，
∴△PMN的周长是变化的，故④错误.
∴结论正确的是①②③.

16. (6分)
(1) 解不等式：3(x + 2) - 2(2x - 3) ＜ 12；
(2) 解不等式组$\begin{cases}2(x - 1)+1＞-3\\x - 1\leqslant\frac{1 + x}{3}\end{cases}$，并把它的解集在数轴上表示出来.

答案：
解：
(1)3(x + 2) - 2(2x - 3) ＜ 12，
去括号，得3x + 6 - 4x + 6 ＜ 12，
移项，得3x - 4x ＜ 12 - 6 - 6，
合并同类项，得 - x ＜ 0，
系数化为1，得x ＞ 0.
(2)$\begin{cases}2(x - 1) + 1 ＞ - 3① \\ x - 1\leqslant\frac{1 + x}{3}②\end{cases}$，
解不等式①，得x ＞ - 1，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为 - 1 ＜ x≤2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示.

17. (8分) 如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1) 找出它们的对称中心O；
(2) 若AB = 7，AC = 5，BC = 6，求△DEF的周长.
　

答案：
解：
(1)如图所示，点O即为所求.(作法不唯一)

(2)
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴AB = DE = 7，AC = DF = 5，BC = EF = 6，
∴△DEF的周长 = DE + DF + EF = 7 + 5 + 6 = 18.

18. (8分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(4，4)，B(5，2)，C(2，1).
(1) 画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；
(2) 画出将△ABC先向左平移7个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的△A₂B₂C₂；
(3) 画出将△A₂B₂C₂绕点C₂顺时针旋转90°后得到的△A₃B₃C₂，并写出点A₃的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图，△A1B1C1即为所求.
(2)如图，△A2B2C2即为所求.
(3)如图，△A3B3C3即为所求.
点A3的坐标为(-2,-2).