《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

22. (12分)在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连、密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆、不易被破解的密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，其原理是: 将一个多项式分解因式，如多项式$x^{3}-x^{2}$因式分解的结果为$x^{2}(x - 1)$，当$x = 5$时，$x^{2}=25$，$x - 1 = 4$(在密码中记为04，后面同理)，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式$x^{3}+2x^{2}-x - 2$因式分解的结果为$(x - 1)(x + 1)(x + 2)$，当$x = 10$时，$x - 1 = 9$，$x + 1 = 11$，$x + 2 = 12$，此时可以得到数字密码091112等.
(1)根据上述方法，当$x = 12$，$y = 5$时，求多项式$x^{3}-xy^{2}$分解因式后可以得到哪些数字密码；(写出三个即可)
(2)若一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，两条直角边长分别为$x$，$y$，且满足$x^{2}+y^{2}=25$，求由多项式$x^{3}y + xy^{3}$分解因式后得到的密码；(写出一个即可)
(3)若多项式$x^{2}+(m - 2n)x - 6n$因式分解后，利用本题的方法，当$x = 25$时可以得到一个密码2821，求$m$、$n$的值.

答案： 解:
(1)$x^3 - xy^2 = x(x - y)(x + y)$，当$x = 12$，$y = 5$时，$x - y = 7$，$x + y = 17$，$\therefore$可得到数字密码120717或121707或071217.(答案不唯一)
(2)$\because x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$，由题意得$x + y = 12 - 5 = 7$，$x^2 + y^2 = 25$，$\therefore xy = \frac{1}{2}[(x + y)^2-(x^2 + y^2)] = 12$，$\therefore$得到的数字密码为1225(或2512)。
(3)$\because$当$x = 25$时，得到的密码为2821，$\therefore x^2 + (m - 2n)x - 6n$因式分解的结果为$(x + 3)(x - 4)$，即$x^2 + (m - 2n)x - 6n = (x + 3)(x - 4)$，$\therefore x^2 + (m - 2n)x - 6n = x^2 - x - 12$，$\therefore \begin{cases}m - 2n = -1\\-6n = -12\end{cases}$，$\therefore m = 3$，$n = 2$。