《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

21. (12分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$，则$\frac{x + 1}{x - 1}$是“美好分式”.
(1)下列分式中，是“美好分式”的是__________.(只填序号)
①$\frac{2x^{6} + 5}{x^{3}}$；②$\frac{3x + 2}{x^{2}}$；③$\frac{3x}{x + 3}$；④$\frac{4x^{2} + 3}{2x - 1}$.
(2)将“美好分式”$\frac{x^{2} - 2x + 2}{x - 1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式.
(3)判断$\frac{5x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7x}$的化简结果是不是“美好分式”，并说明理由.

答案： 解:
(1) ①③④.
(2) $\frac{x^{2} - 2x + 2}{x - 1} = \frac{x^{2} - 2x + 1 + 1}{x - 1} =$
$\frac{(x - 1)^{2} + 1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1}$.
(3) $\frac{5x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7x}$的化简结果是“美好分式”.
理由: $\because \frac{5x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7x}$
$=\frac{5x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \times \frac{x(x - 7)}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{5x}{x + 1} - \frac{x - 7}{x + 1} = \frac{4x + 7}{x + 1}$,
$\frac{4x + 7}{x + 1} = \frac{4(x + 1) + 3}{x + 1} = 4 + \frac{3}{x + 1}$,
$\therefore \frac{5x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7x}$的化简结果是“美好分式”.

22. (12分)利用分式方程解应用题：某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着生产技术的发展，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，那么今年销售额只有90万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆售价为多少万元?
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定同时经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，如何选择A，B款汽车的进货方案，能使得总费用最少?

答案： 解:
(1) 设今年 5 月份$A$款汽车每辆售价为$x$万元, 则去年同期每辆售价为$(x + 1)$万元.
由题意得$\frac{100}{x + 1} = \frac{90}{x}$,
解得$x = 9$,
经检验, $x = 9$是原分式方程的解, 且符合题意.
答: 今年 5 月份$A$款汽车每辆售价为 9 万元.
(2) 设$A$款汽车购进$y$辆, 则$B$款汽车购进$(15 - y)$辆.
由题意得$\begin{cases}7.5y + 6(15 - y) \leq 105\\7.5y + 6(15 - y) \geq 99\end{cases}$,
解得$6 \leq y \leq 10$.
$\because y$为正整数,
$\therefore y$可取 6, 7, 8, 9, 10.
$\therefore$ 共有 5 种进货方案:
①$A$款汽车购进 6 辆, $B$款汽车购进 9 辆, 总费用$= 7.5\times6 + 6\times9 = 99$(万元);
②$A$款汽车购进 7 辆, $B$款汽车购进 8 辆, 总费用$= 7.5\times7 + 6\times8 = 100.5$(万元);
③$A$款汽车购进 8 辆, $B$款汽车购进 7 辆, 总费用$= 7.5\times8 + 6\times7 = 102$(万元);
④$A$款汽车购进 9 辆, $B$款汽车购进 6 辆, 总费用$= 7.5\times9 + 6\times6 = 103.5$(万元);
⑤$A$款汽车购进 10 辆, $B$款汽车购进 5 辆, 总费用$= 7.5\times10 + 6\times5 = 105$(万元).
$\because 99 ＜ 100.5 ＜ 102 ＜ 103.5 ＜ 105$,
$\therefore A$款汽车购进 6 辆, $B$款汽车购进 9 辆, 能使得总费用最少.