《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

23. (12分)如图1，将一副直角三角尺放在同一条直线AB上，其中∠ONM = 30°，∠GCD = 45°.
　　 　 　
　(1)观察猜想:将图1中的三角尺GCD沿AB向右平移至图2的位置，使得点G与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN的度数是________;
　(2)操作探究:将图1中的三角尺GCD绕点G按顺时针方向旋转，使一边GD在∠MON的内部，如图3，且GD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数;
　(3)深化拓展:将图1中的三角尺GCD绕点G按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转角为多少度时，边CD恰好与边MN平行？

答案：
解：
(1)105°.
(2)
∵GD平分∠MON，
∴$∠DON=\frac{1}{2}∠MON=\frac{1}{2}\times90° = 45°$，
∴∠DON = ∠D = 45°，
∴CD//AB，
∴∠CEN = 180° - ∠MNO = 180° - 30° = 150°.
(3)如图1，当CD在AB的上方时，设OM与CD的交点为F，

∵CD//MN，
∴∠OFD = ∠M = 60°.
在△ODF中，∠MOD = 180° - ∠D - ∠OFD = 180° - 45° - 60° = 75°.
如图2，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD的交点为H，

∵CD//MN，
∴∠DHO = ∠M = 60°.
在△DOH中，∠DOH = 180° - 45° - 60° = 75°，
∴旋转角为75° + 180° = 255°.
综上所述，当旋转角为75°或255°时，边CD恰好与边MN平行.