《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

23. (13分)若三个正数a，b，c满足$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$，则称这三个正数为“快乐三数组”.
(1)下列三组数是“快乐三数组”的有__________.(填序号)
①3，4，5；②$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$；③$\frac{3}{10}$，$\frac{1}{3}$，3.
(2)若关于x的分式方程$\frac{2x}{x - 1} + \frac{3m}{1 - x} = -1$的解，关于y的方程$(m - 3)y - 1 = 3(m - y)$的解与1构成“快乐三数组”，求m的值.

答案： 解:
(1) ②③.
(2) 对于方程 $\frac{2x}{x - 1} + \frac{3m}{1 - x} = - 1$,
去分母, 得$2x - 3m = 1 - x$,
$\therefore x = \frac{1 + 3m}{3}$.
解方程$(m - 3)y - 1 = 3(m - y)$,
得$y = \frac{1 + 3m}{m}$.
依题意得$x$, $y$, 1 是“快乐三数组”,
有以下三种情况:
当 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ 时, $\frac{3}{1 + 3m} + \frac{m}{1 + 3m} = 1$,
解得$m = 1$,
经检验, $m = 1$是该方程的解, 且当$m = 1$时, $x = \frac{4}{3}$, $y = 4$, 满足题意;
当$\frac{1}{x} + 1 = \frac{1}{y}$时, $\frac{3}{1 + 3m} + 1 = \frac{m}{1 + 3m}$,
解得$m = - 2$,
经检验, $m = - 2$是该方程的解,
当$m = - 2$时,
$x = \frac{1 + 3m}{3} = \frac{1 + 3\times(-2)}{3} = -\frac{5}{3}$, 不符合“快乐三数组”的定义, 舍去;
当$\frac{1}{y} + 1 = \frac{1}{x}$时, $\frac{m}{1 + 3m} + 1 = \frac{3}{1 + 3m}$,
解得$m = \frac{1}{2}$,
经检验, $m = \frac{1}{2}$是该方程的解, 且当$m = \frac{1}{2}$时, $x = \frac{5}{6}$, $y = 5$, 满足题意.
综上所述, $m$的值为 1 或$\frac{1}{2}$.