《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

23. (12分) 综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两张等边三角形纸片，其中，AC = 5cm，BC = 2cm.
解决问题
(1) 勤奋小组将△ACD和△BCE按如图①所示的方式摆放(点A，C，B在同一条直线上)，连接AE，BD，发现AE = DB，请你给出证明；
(2) 如图②，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C按逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；
拓展延伸
(3) 如图③，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：将△BCE沿CD方向平移a cm，得到△B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，请你直接写出a的值.
　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)证明：
∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴CA = CD，CE = CB，∠ACD = ∠ECB = 60°，
∴∠ACD + ∠DCE = ∠ECB + ∠DCE，即∠ACE = ∠DCB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE = DB.
(2)如图，过点B作BH⊥AC交AC的延长线于H.

∵∠ACD = ∠ECB = 60°，
∴∠BCH = 180° - 60° - 60° = 60°，
∵BH⊥CH，
∴∠H = 90°，
∴∠CBH = 30°，
∴CH = $\frac{1}{2}$BC = 1cm，
∴BH = $\sqrt{BC^{2} - CH^{2}}$ = $\sqrt{3}$cm，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$AC·BH = $\frac{1}{2}$×5×$\sqrt{3}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$(cm²).
(3)a = 2.
详解：由题意得∠ACB' = 90°，
∵∠ACD = 60°，
∴∠E'CB' = 30°，
∵∠C'EB' = 60°，
∴∠CB'E' = 90°，
∵B'E' = E'C' = B'C' = BC = 2cm，
∴CE' = 2B'E' = 4cm，
∴CC' = 2cm，
∴a = 2.