《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

21.(12分)如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC = CD.
　(1)求证:△BCE≌△DCF;
　(2)求证:AB + AD = 2AE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：
(1)
∵AC平分∠BAD，
CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE = CF，∠F = ∠CEB = 90°.
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
$\begin{cases}BC = DC \\CE = CF\end{cases}$
∴△BCE≌△DCF(HL).
(2)
∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F = ∠CEA = 90°.
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
$\begin{cases}AC = AC \\CF = CE\end{cases}$
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF = AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE = DF，
∴AB + AD = (AE + BE)+(AF - DF)= AE + BE + AE - DF = 2AE.

22.(12分)如图,已知AB = AC,∠A = 36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M，有下面4个结论:
　①射线BD是∠ABC的平分线;②△BCD是等腰三角形;③∠A = ∠CBD;④△AMD≌△BCD.
　(1)判断其中正确的结论是哪几个;
　(2)从你认为正确的结论中选一个加以证明.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)正确的结论是①②③.
详解：
∵△AMD是直角三角形，
△BCD是锐角三角形，
∴△AMD与△BCD不全等，④错误.
(2)选①，证明：
∵AB = AC，∠A = 36°，
∴∠ABC = ∠ACB = 72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴DA = DB，
∴∠ABD = ∠A = 36°，
∴∠ABD = ∠CBD = 36°，即射线BD是∠ABC的平分线.
选②，证明：由①证明过程可知∠CBD = 36°，∠ACB = 72°，
∴∠BDC = 72°，
∴∠ACB = ∠BDC，
即△BCD是等腰三角形.
选③，证明：由①证明过程可知∠A = ∠CBD = 36°.