《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

20. (10分)阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程：$\frac{x - 1}{x} - \frac{4x}{x - 1} = 0$.
解：设$y = \frac{x - 1}{x}$，则原方程可化为$y - \frac{4}{y} = 0$，
方程两边同时乘y，得$y^{2} - 4 = 0$，
可得$y = \pm2$.
经检验，$y = \pm2$都是方程$y - \frac{4}{y} = 0$的解.
当$y = 2$时，$\frac{x - 1}{x} = 2$，解得$x = -1$；
当$y = -2$时，$\frac{x - 1}{x} = -2$，解得$x = \frac{1}{3}$.
经检验，$x = -1$和$x = \frac{1}{3}$都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为$x = -1$或$x = \frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
用换元法解方程：$\frac{x + 1}{2x - 1} - \frac{2x - 1}{x + 1} = 0$.

答案： 解: 设 $y = \frac{x + 1}{2x - 1}$, 则原方程可化为
$y - \frac{1}{y} = 0$.
方程两边同时乘$y$,
得$y^{2} - 1 = 0$, 可得$y = \pm 1$.
经检验, $y = \pm 1$都是$y - \frac{1}{y} = 0$的解.
当$y = 1$时, $\frac{x + 1}{2x - 1} = 1$, 解得$x = 2$;
当$y = - 1$时, $\frac{x + 1}{2x - 1} = - 1$, 解得$x = 0$.
经检验, $x = 2$和$x = 0$都是原分式方程的解,
所以原分式方程的解为$x = 2$或$x = 0$.