《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

17. (8分)在将一个式子分解因式时，小婧和小玥产生了分歧，下面是她们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务.

任务一: 经过讨论，她们发现小玥的解答正确，她第1步依据的乘法公式用字母表示为________________；小婧的解答错误，从第______步开始出错，错误的原因是______________________________.
任务二: 按照小婧的思路，写出正确的解答过程.

答案： 解:任务一:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；1；括号前是负号，去括号时没有变号。任务二:原式$=(3a + b + a + 3b)[3a + b-(a + 3b)]=(4a + 4b)(2a - 2b)=8(a + b)(a - b)$。

18.先因式分解，再计算求值：$(a - 1)(a^2 + a)^2+\frac{1}{2}(a - 1)(a^2 + a)-\frac{1-a}{16}$,其中$a=\frac 32$.

答案： 解:原式$=(a - 1)[(a^2 + a)^2+\frac{1}{2}(a^2 + a)+\frac{1}{16}]=(a - 1)(a^2 + a+\frac{1}{4})^2=(a - 1)(a+\frac{1}{2})^4$。当$a = \frac{3}{2}$时，原式$=\frac{1}{2}\times2^4 = 8$。

19. (8分)已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 解:$\because a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$，$\therefore a^4 - b^4 - a^2c^2 + b^2c^2 = 0$，$\therefore (a^4 - b^4)-(a^2c^2 - b^2c^2)=0$，$\therefore (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)-c^2(a^2 - b^2)=0$，$\therefore (a^2 + b^2 - c^2)(a^2 - b^2)=0$，$\therefore (a^2 + b^2 - c^2)(a + b)(a - b)=0$，$\because a + b ＞ 0$，$\therefore a^2 + b^2 - c^2 = 0$或$a - b = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$或$a = b$。故$\triangle ABC$为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形。