《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

19. (9分) 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE = CD.
(1) 求∠E的度数；
(2) 过点D作DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点；
(3) 若MC = 1，求BE的长.
　

答案： 解：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = ∠ABC = ∠A = 60°，
∵CE = CD，
∴∠E = ∠CDE，
又
∵∠ACB = ∠E + ∠CDE，
∴∠E = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°.
(2)证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
∴∠DBC = ∠E，
∴DB = DE，
又
∵DM⊥BE，
∴M是BE的中点.
(3)
∵DM⊥BE，∠ACB = 60°，
∴∠MDC = 30°，
∴DC = 2MC = 2，
∴CE = CD = 2，
∴BE = 2ME = 2×(1 + 2) = 6.

20. (10分) 如图，在△ABC中，∠B = 80°，将AB沿射线BC的方向平移得到A'B'，连接AA'，设A'B'与AC的交点为O.
(1) 若B'为BC的中点，求证：△AOA'≌△COB'；
(2) 若AC平分∠BAA'，求∠C的度数.

答案： 解：
(1)证明：
∵A'B'是由AB沿射线BC的方向平移所得，
∴AA'//BB'，AA' = BB'，
∴∠OAA' = ∠C.
∵B'为BC的中点，
∴BB' = B'C，
∴AA' = B'C.
在△AOA'和△COB'中，
$\begin{cases}\angle OAA' = \angle C \\ \angle AOA' = \angle COB' \\ AA' = CB'\end{cases}$，
∴△AOA'≌△COB'(AAS).
(2)
∵AC平分∠BAA'，
∴∠BAC = ∠OAA'.
又
∵∠OAA' = ∠C，
∴∠BAC = ∠C.
∵∠BAC + ∠C + ∠B = 180°，∠B = 80°，
∴∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - 80°) = 50°.

21. (10分) 在△ABC中，AC = BC，D是BC中点，E是AC中点，连接AD，BE.
【问题探究】
(1) 如图1，试说明：AD = BE.
　
拓展延伸】
(2) 如图2，若∠ACB = 90°，分别延长BE，DA到点F和G，使BF = 2BE，DG = 2DA，连接AF，FG，取AF的中点H，连接GH，则线段AG与线段GF相等吗？请说明理由.
　

答案： 解：
(1)证明：因为AC = BC，D是BC中点，E是AC中点，
所以CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BC = CD.
在△ADC与△BEC中，
$\begin{cases}AC = BC \\ \angle C = \angle C \\ CD = CE\end{cases}$，
所以△ADC≌△BEC(SAS).
所以AD = BE.
(2)相等.理由：因为E是AC中点，BF = 2BE，所以AE = CE，BE = EF，
因为∠AEF = ∠CEB，
所以△AEF≌△CEB(SAS)，
所以AF = BC，∠AFE = ∠CBE，
所以AF//BC.
所以∠GAH = ∠ADC，
因为D，H分别是BC，AF的中点，
所以CD = AH，
因为DG = 2DA，
所以DA = AG，
所以△ADC≌△GAH(SAS)，
所以∠AHG = ∠ACD = 90°，
所以GH垂直平分AF，
所以AG = GF.