《2025年53精准练八年级数学下册北师大版山西专版》

18.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC = 90°.
　(1)实践与操作:过点A作BC边上的高AD(要求:尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母);
　(2)在(1)的条件下,若AB = 2,∠C = 30°,求AD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图所示，AD即为所求.

(2)
∵∠BAC = 90°，∠C = 30°，
AB = 2，
∴BC = 2AB = 4.
在Rt△ABC中，
AC = $\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}-2^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$.
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC = 90°，
∵∠C = 30°，
∴AD = $\frac{1}{2}$AC = $\sqrt{3}$.

19.(8分)如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.
　　(1)若△ABC的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上，且AB = 5，，画出△ABC并标注字母;
　　(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)△ABC即为所求(画法不唯一).

(2)△ABC是直角三角形.理由如下：
∵AC² + BC² = (2$\sqrt{5}$)² + ($\sqrt{5}$)² = 25 = 5² = AB²，
∴△ABC是直角三角形.

20.(8分)如图,AB = BC,∠BAD = ∠BCD = 90°,点D是EF上一点,AE⊥EF 于E,CF⊥EF于F,AE = CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
证明：连接BD，

∵∠BAD = ∠BCD = 90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
$\begin{cases}BD = BD \\AB = BC\end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，
∴AD = CD.
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠E = ∠F = 90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
$\begin{cases}AD = CD \\AE = CF\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).