《2025年特高级教师点拨七年级数学下册湘教版》

例10 已知$16^{m}=4\times2^{2n - 2}$，$27^{n}=9\times3^{m + 3}$，求$m$，$n$的值.

解：因为$16^{m}=4\times2^{2n - 2}$，
所以$(2^{4})^{m}=2^{2}\times2^{2n - 2}$.
所以$2^{4m}=2^{2n}$.
所以$4m=2n$，即$2m=n$.
因为$27^{n}=9\times3^{m + 3}$，所以$(3^{3})^{n}=3^{2}\times3^{m + 3}$.
所以$3^{3n}=3^{m + 5}$.
所以$\begin{cases}2m=n,\\3n=m + 5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 2.\end{cases}$

答案：

例11 已知$a = 2^{40}$，$b = 3^{32}$，$c = 4^{24}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为( )
A. $a\lt b\lt c$ B. $a\lt c\lt b$ C. $b\lt a\lt c$ D. $c\lt b\lt a$

解：$a = 2^{40}=(2^{5})^{8}=32^{8}$，$b = 3^{32}=(3^{4})^{8}=81^{8}$，
$c = 4^{24}=(4^{3})^{8}=64^{8}$.
因为$32\lt64\lt81$，
所以$32^{8}\lt64^{8}\lt81^{8}$，即$a\lt c\lt b$.
答案：B

答案：

例12 已知$a = 16^{6}$，$b = 8^{9}$，$c = 4^{13}$，试比较$a$，$b$，$c$的大小.

解：$a = 16^{6}=(2^{4})^{6}=2^{24}$，
$b = 8^{9}=(2^{3})^{9}=2^{27}$，
$c = 4^{13}=(2^{2})^{13}=2^{26}$，
因为$24\lt26\lt27$，
所以$2^{24}\lt2^{26}\lt2^{27}$，
即$a\lt c\lt b$.

答案：