《2025年特高级教师点拨七年级数学下册湘教版》

例5 如图1 - 1①所示，从边长为$a$的正方形纸片中剪去一个边长为$b$的小正方形，再沿着虚线$AB$剪开，把剪成的两张纸片拼成如图1 - 1②所示的等腰梯形。

(1) 设图1 - 1①中阴影部分的面积为$S_{1}$，图1 - 1②中的阴影部分的面积为$S_{2}$，请直接用含$a$，$b$的代数式表示$S_{1}$，$S_{2}$；
(2) 请写出上述过程所揭示的乘法公式。

解：(1)$S_{1}=a^{2}-b^{2}$，
$S_{2}=\frac{1}{2}(2b + 2a)(a - b)$
$=(a + b)(a - b)$。
(2)$(a + b)(a - b)$
$=a^{2}-b^{2}$。

答案：

1. (直接运用幂的运算法则) 计算：
(1)$x\cdot x^{7}+x\cdot x+x^{2}\cdot x^{6}-3x^{4}\cdot x^{4}$；
(2)$2(-a^{3})^{4}+3(-a^{2})^{6}$；
(3)$-2^{2}(x^{3})^{2}\cdot (x^{2})^{4}-(x^{2})^{5}\cdot (x^{2})^{2}$；
(4)$a\cdot a^{3}\cdot a^{4}+(-a^{2})^{4}+(-2a^{4})^{2}$。

答案： 解:
(1)原式=x⁸+x²+x⁸-3x⁸=x²-x⁸.
(2)原式=2a¹²+3a¹²=5a¹².
(3)原式=-4x⁶·x⁸-x¹⁰·x⁴=-4x¹⁴-x¹⁴=-5x¹⁴.
(4)原式=a⁸+a⁸+4a⁸=6a⁸.

2. (逆用幂的运算法则)
(1) 已知$10^{m}=3$，$10^{n}=2$，$10^{p}=4$，求$10^{3m + 2n + p}$的值。
(2) 已知$a = 8^{14}$，$b = 256^{5}$，$c = 64^{7}$，试比较$a$，$b$，$c$的大小。

答案： 解:
(1)10³m+²n+p
=10³m·10²n·10p
=(10m)³·(10n)²·10p
=3³×2²×4
=432.
(2)因为a=8¹⁴=(2³)¹⁴=2⁴²,
b=256⁵=(2⁸)⁵=2⁴⁰,
c=64⁷=(2⁶)⁷=2⁴²,
所以a=c＞b.

3. 计算：
(1)$(-\frac{1}{4}x^{2}y)\cdot (-2xy^{3})^{2}$；
(2)$6a^{2}\cdot (\frac{1}{3}ab - b^{2})-2a^{2}b(a - b)$；
(3)$5x(x^{2}+2x + 1)-(2x + 3)(x - 5)$。

答案： 解:
(1)原式=(-$\frac{1}{4}$x²y)·4x²y⁶=-x⁴y⁷.
(2)原式=2a³b-6a²b²-2a³b+2a²b²=-4a²b².
(3)原式=5x³+8x²+12x+15.

4. 先化简，再求值：
(1)$(-\frac{1}{2}ab^{2})\cdot (\frac{1}{4}a^{2}b^{4})-(-a^{3}b^{2})\cdot (-b^{2})^{2}$，其中$a = -\frac{1}{4}$，$b = 4$；
(2)$(a + b)(a - 2b)-(a + 2b)(a - b)$，其中$a = -2$，$b=\frac{2}{3}$；
(3)$(-\frac{1}{3}xy)^{2}\cdot [xy(2x - y)-2x(xy - y^{2})]$，其中$x = -\frac{3}{2}$，$y = -2$。

答案： 解:
(1)原式=$\frac{7}{8}$a³b⁶.
当a=-$\frac{1}{4}$,b=4时,
原式=$\frac{7}{8}$×(-$\frac{1}{4}$)³×4⁶=-56.
(2)原式=-2ab.
当a=-2,b=$\frac{2}{3}$时，
原式=(-2)×(-2)×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$.
(3)原式=$\frac{1}{9}$x³y⁴.
当x=-$\frac{3}{2}$,y=-2时,
原式=$\frac{1}{9}$×(-$\frac{3}{2}$)³×(-2)⁴=-6.