《2025年特高级教师点拨七年级数学下册湘教版》

5. [中考·北京] 已知$a^{2}+2b^{2}-1=0$，求代数式$(a - b)^{2}+b(2a + b)$的值。

答案： 解:(a-b)²+b(2a+b)
=a²-2ab+b²+2ab+b²
=a²+2b².
因为a²+2b²-1=0,所以a²+2b²=1,
所以原式=1.

6. 计算：
(1)$2025^{2}-4050×2024+2024^{2}$；
(2)$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+96^{2}-95^{2}+\cdots+2^{2}-1$。

答案： 解:
(1)2025²-4050×2024+2024²
=2025²-2×2025×2024+2024²
=(2025-2024)²
=1.
(2)原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+...+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97+96+95+...+2+1
=(100+1)×50
=5050.

7. (1) 已知$(x + y)^{2}=64$，$(x - y)^{2}=9$，求$xy$的值；
(2)[期末·郴州苏仙区] 已知$(2025 - x)^{2}+(x - 2024)^{2}=9$，求$(2025 - x)(x - 2024)$的值。

答案： 解:
(1)因为(x+y)²-(x-y)²=4xy=64-9=55,
所以xy=$\frac{55}{4}$.
(2)设a=2025-x,b=x-2024,
则a²+b²=9,a+b=1,
所以(2025-x)(x-2024)=ab=$\frac{(a+b)²-(a²+b²)}{2}$=$\frac{1-9}{2}$=-4.

8. [新视角 新定义题] 若一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$（$a$，$b$为整数）的形式，则称这个数为“完美数”。例如$5 = 2^{2}+1^{2}$，所以5为完美数，再如$M = x^{2}+2xy + 2y^{2}=(x + y)^{2}+y^{2}$（$x$，$y$是整数），所以$M$为“完美数”。
(1) 请你再写一个小于10的“完美数”，再判断41是不是“完美数”；
(2) 已知$S = x^{2}+4y^{2}+6x - 12y + k$（$x$，$y$为整数，$k$为常数），若$S$为“完美数”，求$k$的值；
(3) 如果$m$，$n$都是“完美数”，试说明$mn$也是“完美数”。

答案： 解:
(1)因为8=2²+2²,
所以8是“完美数”
因为41=4²+5²,
所以41是“完美数”
(2)因为S=x²+4y²+6x-12y+k=(x+3)²+(2y-3)²+k-18,且S为“完美数”,
所以k=18时,S是“完美数”.
(3)设m=a²+b²,n=c²+d²(a,b,c,d为整数),则mn=(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²
=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²+2abcd-2abcd
=(ac+bd)²+(ad-bc)²,
所以mn是“完美数”.

9. 如图①，将一个长为$4a$、宽为$2b$的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形。

(1) 图②的空白部分的正方形的边长是________。
(2) 用两种不同的方法求图②中空白部分的面积。
【方法1】$S_{空白}=$__________；
【方法2】$S_{空白}=$__________。
(3) 观察图②，写出$(2a - b)^{2}$，$ab$，$(2a + b)^{2}$这三个式子之间的等量关系。
(4) 根据(3)中的等量关系，解决问题：若$2a + b = 9$，且$ab = 4$，求图②中的空白正方形的边长。

答案： 解:
(1)2a-b
(2)(2a-b)²;(2a+b)²-8ab
(3)由
(2)知(2a-b)²=(2a+b)²-8ab.
(4)因为2a+b=9,且ab=4,
所以(2a-b)²=(2a+b)²-8ab=81-32=49.
所以2a-b=7(负值已舍去),
因此题图②中的空白正方形的边长为7.