《2025年特高级教师点拨七年级数学下册湘教版》

例14 新考法·整体代入法 已知$a^{2}+3ab = 5$，求$(a + b)(a + 2b)-2b^{2}$的值.

解：因为$a^{2}+3ab = 5$，所以$(a + b)(a + 2b)-2b^{2}=a^{2}+2ab+ab+2b^{2}-2b^{2}=a^{2}+3ab = 5$.

答案：

1.[中考·湖北] 计算$2x\cdot3x^{2}$的值是( )
A. $5x^{2}$
B. $5x^{3}$
C. $6x^{2}$
D. $6x^{3}$

答案： 1. D

2.[中考·辽宁] 下列计算正确的是( )
A. $a^{2}+a^{3}=2a^{5}$
B. $a^{2}\cdot a^{3}=a^{6}$
C. $(a^{2})^{3}=a^{5}$
D. $a(a + 1)=a^{2}+a$

答案： 2. D

3.[月考·邵阳] 如图，阴影部分的面积是( )

A. $\frac{11}{2}xy$
B. $\frac{13}{2}xy$
C. $6xy$
D. $3xy$

答案： 3. A

4.如果$(x^{2}+px + q)(x^{2}-3x + 2)$的计算结果中不含$x^{2}$项和$x$项，那么( )
A. $p = 0$，$q = 0$
B. $p=-3$，$q = 9$
C. $p=\frac{6}{7}$，$q=\frac{4}{7}$
D. $p=-3$，$q = 1$

答案： 4. C 点拨：原式$=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+px^{3}-3px^{2}+2px + qx^{2}-3qx + 2q = x^{4}+(p - 3)x^{3}+(2 - 3p + q)x^{2}+(2p - 3q)x + 2q$.
由题意得$\begin{cases}2 - 3p + q = 0,\\2p - 3q = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}p = \frac{6}{7},\\q = \frac{4}{7}.\end{cases}$

5.计算$(2a^{2})^{3}-6a^{2}\cdot a^{4}=$__________.

答案： 5. $2a^{6}$

6.新考法 归纳法 观察下列各式：
$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$，
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$，
$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$，
$(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{5}-1$
……
请你猜想：$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+\cdots+x^{2}+x + 1)=$________________. （$n$为正整数）

答案： 6. $x^{n + 1}-1$

7.化简：
(1)$x(x + 1)-(x + 1)(x - 2)$；
(2)[中考·咸宁]$(a + 3)(a - 2)-a(a - 1)\cdot(2a - 6)$.

答案： 7. 解：
(1)$x(x + 1)-(x + 1)(x - 2)$
$=(x^{2}+x)-(x^{2}-x - 2)$
$=x^{2}+x - x^{2}+x + 2$
$=2x + 2$.
(2)$(a + 3)(a - 2)-a(a - 1)(2a - 6)$
$=(a^{2}+a - 6)-a(2a^{2}-8a + 6)$
$=a^{2}+a - 6 - 2a^{3}+8a^{2}-6a$
$=-2a^{3}+9a^{2}-5a - 6$.