《2025年特高级教师点拨七年级数学下册湘教版》

例9 将某个正方形的一组对边分别增加2 cm，另一组对边分别减少4 cm，所得到的长方形的面积与将这个正方形的每条边均减少2 cm所得到的正方形的面积相等，求得到的长方形的长和宽.
解题秘方：根据该正方形经过两种变形后得到的图形的面积相等列方程，然后利用乘法公式及整式乘法解方程.
解：设原正方形的边长为$x$ cm，则得到的长方形的长为$(x + 2)$ cm，宽为$(x - 4)$ cm. 根据题意，得$(x + 2)(x - 4)=(x - 2)^{2}$.
整理，得$x^{2}-2x - 8=x^{2}-4x + 4$，即$2x=12$，解得$x=6$.
所以$x + 2=6 + 2=8$，$x - 4=6 - 4=2$.
所以得到的长方形的长为8 cm，宽为2 cm.

答案：

例10 观察下列各式：
$1^{2}+(1×2)^{2}+2^{2}=(1×2 + 1)^{2}$；
$2^{2}+(2×3)^{2}+3^{2}=(2×3 + 1)^{2}$；
$3^{2}+(3×4)^{2}+4^{2}=(3×4 + 1)^{2}$
……
请你根据以上规律，写出第$n$($n$为正整数)个式子，并验证其正确性.
解题秘方：观察等式的变化规律，写出一般规律的式子，并用乘法公式计算左、右两边是否相等.
解：第$n$个式子为$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}=[n(n + 1)+1]^{2}$.
验证：因为$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}$
$=n^{2}+(n^{2}+n)^{2}+n^{2}+2n + 1$
$=n^{2}+n^{4}+2n^{3}+n^{2}+n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$，
$[n(n + 1)+1]^{2}$
$=[n(n + 1)]^{2}+2n(n + 1)+1$
$=(n^{2}+n)^{2}+2n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n^{2}+2n + 1$
$=n^{4}+2n^{3}+3n^{2}+2n + 1$，
所以$n^{2}+[n(n + 1)]^{2}+(n + 1)^{2}=[n(n + 1)+1]^{2}$.

答案：