《2025年特高级教师点拨七年级数学下册湘教版》

8.[期末·永州] 已知$A=(3x - 1)(2x + 1)-(x - 1 + 6y^{2})$.
(1) 化简$A$；
(2) 当$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}x + y = 5,\\x - y = 1\end{cases}$时，求$A$的值.

答案： 8. 解：
(1)$A=(3x - 1)(2x + 1)-(x - 1 + 6y^{2})$
$=6x^{2}+x - 1 - x + 1 - 6y^{2}$
$=6x^{2}-6y^{2}$.
(2)$\begin{cases}x + y = 5,①\\x - y = 1.②\end{cases}$
①+②，得$2x = 6$，解得$x = 3$.
将$x = 3$代入①，得$3 + y = 5$，解得$y = 2$.
所以方程组的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 2.\end{cases}$
把$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$代入$6x^{2}-6y^{2}$，
得$A = 6×3^{2}-6×2^{2}=54 - 24 = 30$.

9.解方程：$4x(x - 1)+5=(2x - 1)(2x + 3)$.

答案： 9. 解：原方程可化为$4x^{2}-4x + 5 = 4x^{2}+6x - 2x - 3$，即$8x = 8$，故$x = 1$.

10.[期末·长沙雨花区] 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图①可以得到$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，请解答下列问题：

(1) 图②中所表示的数学等式为________.
(2) 利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若$a + b + c = 8$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=36$，求$ab + bc + ac$的值.
(3) 小明同学用图③中$x$张边长为$a$的正方形，$y$张边长为$b$的正方形，$z$张相邻两边长分别为$a$，$b$的长方形纸片拼出一个面积为$(4a + 7b)(6a + 5b)$的长方形，求$x + y + z$的值.

答案： 10. 解：
(1)$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$
(2)因为$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$，$a + b + c = 8$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=36$，
所以$2(ab + bc + ac)=(a + b + c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})=64 - 36 = 28$.
所以$ab + bc + ac = 14$.
(3)由题意可知所拼图形的面积为$xa^{2}+yb^{2}+zab$.
因为$(4a + 7b)(6a + 5b)=24a^{2}+20ab + 42ab + 35b^{2}=24a^{2}+62ab + 35b^{2}$，
所以$x = 24$，$y = 35$，$z = 62$.
所以$x + y + z = 121$.