《2025年特高级教师点拨七年级数学下册湘教版》

7.我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$. 比较大小：$\sqrt{10}$____$\frac{22}{7}$(填“＞”或“＜”).

答案： ＞ 点拨：因为$(\frac{22}{7})^2=\frac{484}{49}$，$(\sqrt{10})^2 = 10=\frac{490}{49}$，而$\frac{484}{49}＜\frac{490}{49}$，所以$(\frac{22}{7})^2＜(\sqrt{10})^2$。所以$\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。

8.中考·安徽 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是$\sqrt{5}-1$，它介于整数$n$和$n + 1$之间，则$n$的值是__________.

答案： 1

9.新视角 新定义题 对于实数$p$，我们规定：用$\{\sqrt{p}\}$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数. 例如：$\{\sqrt{4}\}=2$，$\{\sqrt{3}\}=2$，现在对72进行如下操作：72$\xrightarrow{第一次}$$\{\sqrt{72}\}=9$$\xrightarrow{第二次}$$\{\sqrt{9}\}=3$$\xrightarrow{第三次}$$\{\sqrt{3}\}=2$，即对72只需进行3次操作后变为2. 类比上述操作：对36只需进行______次操作后变为2.

答案： 3

10.母题教材P41练习T1 把下列各数填入相应的大括号内：
$-7$，$0.32$，$\frac{1}{3}$，$46$，$0$，$-\sqrt{8}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}$，$\sqrt[3]{216}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$5\pi$，$0.\dot{8}\dot{7}$，$\sqrt{16}$.
有理数：{                       …}；
无理数：{                       …}；
负实数：{                       …}.

答案： 解：有理数：$\{-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt[3]{216},0.\dot{8}\dot{7},\sqrt{16},\cdots\}$；
无理数：$\{-\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{\sqrt{2}}{2},5\pi,\cdots\}$；
负实数：$\{-7,-\sqrt{8},-\frac{\sqrt{2}}{2},\cdots\}$。

11.计算：
[中考·益阳]$|\sqrt{3}-1|-(-\sqrt{3})^2-12\times(-\frac{1}{3})$.

答案： 解：原式$=\sqrt{3}-1 - 3 + 4=\sqrt{3}$。

12. 期中·厦门海沧区 在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长、宽之比为3∶1，面积为75 cm²的长方形.
(1) 求长方形的长和宽；
(2) 她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3 cm.”请你判断她的说法是否正确，并说明理由.

答案： 解：
(1)设长方形的长为$3x$ cm，则宽为$x$ cm。
根据题意，得$3x\cdot x = 75$，
整理，得$x^2 = 25$。
因为$x＞0$，
所以$x = 5$。
所以$3x = 15$。
所以长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm。
(2)她的说法正确。理由如下：
设正方形的边长为$y$ cm，根据题意可得，$y^2 = 75$。
因为$y＞0$，
所以$y = \sqrt{75}$。
因为原来长方形的宽为 5cm，
所以正方形的边长与原来长方形的宽之差为$(\sqrt{75}-5)$cm。
因为$\sqrt{64}＜\sqrt{75}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{75}＜9$，
所以$3＜\sqrt{75}-5＜4$。
所以她的说法正确。

13.新考法 新定义运算法 已知$x$，$y$为实数，现规定一种新运算“※”，满足$x※y=xy + x + y + 1$.
(1) 求$-2※4$的值.
(2) 任意选择两个实数$x$，$y$，分别计算$x※y$和$y※x$，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？
(3) 对于实数$a = 2$，$b=-1$，$c=\sqrt{2}$，这种运算“※”是否满足结合律$(a※b)※c=a※(b※c)$，请通过计算判断.

答案： 解：
(1)$-2※4=(-2)\times4+(-2)+4 + 1=-5$。
(2)此运算满足交换律。
当选择$x = 2$，$y = 3$时，
因为$x※y=xy + x + y + 1=2\times3+2+3 + 1=12$，
$y※x=yx + y + x + 1=3\times2+3+2 + 1=12$，
所以$x※y=y※x$。
所以此运算满足交换律。
(3)这种运算“※”不满足结合律。
因为$a = 2$，$b=-1$，$c=\sqrt{2}$，
所以$(a※b)※c$
$=[2\times(-1)+2+(-1)+1]※\sqrt{2}$
$=0※\sqrt{2}$
$=0\times\sqrt{2}+0+\sqrt{2}+1$
$=\sqrt{2}+1$。
$a※(b※c)$
$=a※[(-1)\times\sqrt{2}+(-1)+\sqrt{2}+1]$
$=2※0$
$=2\times0+2+0+1$
$=3$。
因为$\sqrt{2}+1\neq3$，
所以这种运算“※”不满足结合律。