《2025年南通小题课时作业本七年级数学下册苏科版》

6 如图，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°得到△DCE，若BE=17，AD=7，则BC的长为（ ）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： 6.C

7（2024镇江期末）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△DBE.
（1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC=6，BD=9，求AE的长；
（2）如图2，BD//AC，若∠C=110°，∠BAC=40°，求∠ABE的大小.

答案： 7.解:
(1)因为将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△DBE，
　所以AB=BD=9，BE=BC=6，
　所以AE=AB−BE=9−6=3.
(2)因为∠C=110°，∠BAC=40°，
　所以∠ABC=180°−110°−40°=30°.
　因为将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
　所以∠DBE=∠ABC=30°.
　因为BD//AC，
　所以∠DBC+∠C=180°，
　所以∠DBC=70°，
　所以∠ABE=70°−30°×2=10°.

8（创新题）（1）如图1，AB//CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K.
①∠AKF的大小为_______；
②若∠FAG= $\frac{1}{2}$∠BEF，求∠FBE的大小；
（2）如图2，将②中确定的△BEF绕着点F以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为t s，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值.

答案：
8.解:
(1)①45°　提示:因为FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，
　所以∠EFH=∠HFA，∠GAK=∠KAP.
　因为AG⊥EF，
　所以∠EFH+∠HFA+∠FAG=90°.
　又因为∠GAK+∠KAP+∠FAG=180°，
　故∠EFH+∠HFA+∠FAG+∠GAK+∠KAP+∠FAG=180°+90°=270°，
即2∠HFA+2∠GAK+2∠FAG=270°，
所以∠HFA+∠GAK+∠FAG=135°，
所以∠AKF=180°−∠HFA−∠GAK−∠FAG=180°−135°=45°.
②因为∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BEF，
所以∠EFH+∠HFA+$\frac{1}{2}$∠BEF=90°.
因为AB//CD，
所以∠CEF=∠EFH+∠HFA.
又因为∠CEF=∠BEC+∠BEF，∠BEC=3∠BEF，
所以∠CEF=4∠BEF，
所以4∠BEF+$\frac{1}{2}$∠BEF=90°，
解得∠BEF=20°，
所以∠BEC=3∠BEF=60°，
所以∠FBE=∠BEC=60°.
(2)由②可得∠FBE=60°，∠BEF=20°，∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BEF=10°，∠AFG=80°，∠BFE=100°.
如图1，当B'E'⊥EF时，
因为∠FE'B'=20°，∠FAG=10°，
所以∠EFE'=90°−20°=70°，∠B'FE=100°−70°=30°，
所以∠BFB'=100°−∠B'FE=70°，
此时旋转时间为t=$\frac{70}{5}$=14(s);
如图2，当B'E'⊥AF时，
因为∠FE'B'=20°，
所以∠AFE'=90°−20°=70°，∠B'FA=100°−70°=30°，
所以∠BFB'=180°−∠B'FA=150°，
此时旋转时间为t=$\frac{150}{5}$=30(s);
如图3，当B'E'⊥AG时，
因为∠FAG=10°，
所以∠B'HA=90°−10°=80°.
因为∠FE'B'=20°，
所以∠E'FA=180°−80°−20°=80°，∠B'FA=100°−80°=20°，
所以∠BFB'=180°−∠B'FA=160°，
此时旋转时间为t=$\frac{160}{5}$=32(s).
综上，符合条件的t的值为14或30或32.