《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

23 (10分)某公司的化工产品成本为30元/kg.销售部门规定:一次性销售1000 kg以内时,以50元/kg的价格销售;一次性销售不低于1000 kg时,每增加1 kg降价0.01元.考虑到降价对利润的影响,一次性销售不低于1750 kg时,均以某一固定价格销售.一次性销售利润$y$(单位:元)与一次性销售量$x$(单位:kg)的函数关系如图所示.

(1) 当一次性销售800 kg时,利润为多少元?
(2) 求一次性销售量在1000~1750 kg之间时的最大利润;
(3) 当一次性销售多少千克时,利润为22100元?

答案： 23解：
(1)由题意知，当$x = 800$时，$y = 800×(50 - 30) = 16000$。
答：当一次性销售800kg时，利润为16000元。
(2)由题意知，一次性销售量在$1000\sim1750$kg之间时，每千克的销售利润为$50 - 30 - 0.01(x - 1000) = -0.01x + 30$，所以$y = x(-0.01x + 30) = -0.01x² + 30x = -0.01(x - 1500)² + 22500$。
因为$-0.01＜0$，$1000\leq x\leq1750$，所以当$x = 1500$时，$y$有最大值，最大值为22500。
答：一次性销售量在$1000\sim1750$kg之间时的最大利润为22500元。
(3)当$x＜1000$时，$y = (50 - 30)x = 20x$，因为$20＞0$，所以当$x＜1000$时，$y＜20000＜22100$；
当$1000\leq x＜1750$时，若$y = 22100$，则有$-0.01(x - 1500)² + 22500 = 22100$，解得$x_1 = 1300$，$x_2 = 1700$；
当$x = 1750$时，售价为$50 - (1750 - 1000)×0.01 = 42.5$元，所以当$x＞1750$时，$y = (42.5 - 30)x = 12.5x$，若$y = 22100$，则有$12.5x = 22100$，解得$x = 1768$。
答：当一次性销售量为1300kg或1700kg或1768kg时，利润为22100元。

24 (10分)如图,矩形$ABCD$是一张A4纸,其中$AD = \sqrt{2}AB$,小天用该A4纸玩折纸游戏.
游戏1 折出对角线$BD$,将点$B$翻折到$BD$上的点$E$处,折痕$AF$交$BD$于点$G$.展开后得到图1,发现$F$恰为$BC$的中点.
游戏2 在游戏1的基础上,将点$C$翻折到$BD$上,折痕为$BP$;展开后将点$B$沿过点$F$的直线翻折到$BP$上的点$H$处;再展开并连接$GH$后得到图2,发现$\angle AGH$是一个特定的角.


(1) 请你证明游戏1中发现的结论;
(2) 请你猜想游戏2中$\angle AGH$的度数,并说明理由.

答案： 24
(1)证明：证法一：由折叠的性质可得$AF\perp BD$，所以$\angle AGB = 90°$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$\angle BAD = \angle ABC = 90°$，所以$\angle BAG = \angle ADB = \angle GBF$。
因为$AD = \sqrt{2}AB$，设$AB = a$，则$AD = \sqrt{2}a$，$BD = \sqrt{3}a$，所以$\sin\angle BAG = \sin\angle ADB$，即$\frac{BG}{AB} = \frac{AB}{BD}$，所以$\frac{BG}{a} = \frac{a}{\sqrt{3}a}$，解得$BG = \frac{\sqrt{3}}{3}a$。
在$Rt\triangle ABG$中，根据勾股定理可得$AG = \sqrt{AB² - BG²} = \frac{\sqrt{6}}{3}a$。
因为$\cos\angle GBF = \cos\angle BAG$，即$\frac{BG}{BF} = \frac{AG}{AB}$，所以$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{BF} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}a}{a}$，解得$BF = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。
因为$BC = AD = \sqrt{2}a$，所以$BF = \frac{1}{2}BC$，所以F为BC的中点。
证法二：由折叠的性质可得$AF\perp BD$，所以$\angle AGB = 90°$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$\angle BAD = \angle ABC = 90°$，所以$\angle BAG = \angle ADB = \angle GBF$。
因为$AD = \sqrt{2}AB$，所以$\tan\angle BAG = \tan\angle GBF = \tan\angle ADB = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
设$BG = n$，则$AG = \sqrt{2}n$，$DG = 2n$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$AD// BC$，所以$\triangle BFG\sim\triangle DAG$，所以$\frac{BF}{DA} = \frac{BG}{DG} = \frac{1}{2}$，所以$BF = \frac{1}{2}DA$，所以$BF = \frac{1}{2}BC$，所以F为BC的中点。
(2)解：$\angle AGH = 120°$。理由如下：
连接HF；由折叠的性质可知$\angle GBH = \angle FBH$，$BF = HF$，所以$\angle FBH = \angle FHB$，所以$\angle GBH = \angle BHF$，所以$BD// HF$，所以$\angle DGH = \angle GHF$。
由
(1)知，$AF\perp BD$，可得$AF\perp HF$，所以$\angle AFH = 90°$。
设$GF = b$，则$BG = \sqrt{2}b$，$BF = HF = \sqrt{3}b$。
在$Rt\triangle GFH$中，$\tan\angle GHF = \frac{GF}{HF} = \frac{b}{\sqrt{3}b} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\angle GHF = 30°$，所以$\angle DGH = 30°$，所以$\angle AGH = \angle AGD + \angle DGH = 90° + 30° = 120°$。

25 (12分)在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(m,0)$,$B(m - a,0) (a ＞ m ＞ 0)$的位置和函数$y_1 = \frac{m}{x} (x ＞ 0)$,$y_2 = \frac{m - a}{x} (x ＜ 0)$的图像如图所示.以$AB$为边在$x$轴上方作正方形$ABCD$,边$AD$与函数$y_1$的图像相交于点$E$,边$CD$与函数$y_1,y_2$的图像分别相交于点$G,H$,一次函数$y_3$的图像经过点$E,G$,与$y$轴相交于点$P$,连接$PH$.

(1) 若$m = 2,a = 4$,求一次函数$y_3$的表达式及$\triangle PGH$的面积;
(2) 在满足$a ＞ m ＞ 0$的条件下,当$a,m$任意变化时,$\triangle PGH$的面积是否变化?请说明理由;
(3) 试判断直线$PH$与边$BC$的交点是否在函数$y_2$的图像上?并说明理由.

答案：
25解：
(1)因为$m = 2$，$a = 4$，所以点$A(2,0)$，$B(-2,0)$，$y_1 = \frac{2}{x}$，$y_2 = -\frac{2}{x}$，所以点$E(2,1)$，$G(\frac{1}{2},4)$，$H(-\frac{1}{2},4)$。
因为一次函数$y_3$的图像经过点E、G，设$y_3 = kx + b$，则$\begin{cases}2k + b = 1\frac{1}{2}k + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 5\end{cases}$，所以一次函数$y_3$的表达式为$y_3 = -2x + 5$，所以$P(0,5)$。
如图，设OP与CD的交点为M，所以$PM = OP - OM = 1$，所以$S_{\triangle PGH} = \frac{1}{2}×HG×PM = \frac{1}{2}×1×1 = \frac{1}{2}$。
(2)$\triangle PGH$的面积不变。理由如下：
因为点$A(m,0)$，$B(m - a,0)$，$y_1 = \frac{m}{x}$，$y_2 = \frac{m - a}{x}$，所以点$E(m,1)$，$G(\frac{m}{a},a)$，$H(\frac{m - a}{a},a)$。
设$y_3 = k_1x + b_1$，则$\begin{cases}k_1m + b_1 = 1\frac{k_1m}{a} + b_1 = a\end{cases}$，解得$b_1 = a + 1$，所以$P(0,a + 1)$，所以$PM = OP - OM = 1$，所以$S_{\triangle PGH} = \frac{1}{2}×HG×PM = \frac{1}{2}×(\frac{m}{a} - \frac{m - a}{a})×1 = \frac{1}{2}$，所以在满足$a＞m＞0$的条件下，当$a$、$m$任意变化时，$\triangle PGH$的面积不变。
(3)直线PH与边BC的交点在函数$y_2$的图像上。理由如下：
如图，设直线PH与边BC的交点为N，设直线PH的表达式为$y = k_2x + a + 1$，将点$H(\frac{m - a}{a},a)$代入，得$\frac{k_2(m - a)}{a} + a + 1 = a$，解得$k_2 = -\frac{a}{a - m}$，所以$y = -\frac{a}{a - m}x + a + 1$。
当$x = m - a$时，$y = 1$，所以$N(m - a,1)$，所以点N在$y_2 = \frac{m - a}{x}(x＜0)$的图像上。