《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

21 (10 分)如图,点$D$在$\triangle ABC$的边$AB$上,$DF$经过边$AC$的中点$E$,且$EF = DE$.求证:$CF // AB$.

答案： 证明:因为$E$是$AC$的中点，所以$AE = CE$.在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，$\begin{cases}AE = CE\\\angle AED = \angle CEF\\DE = FE\end{cases}$所以$\triangle ADE \cong \triangle CFE(SAS)$，所以$\angle ADE = \angle CFE$，所以$CF // AB$.

22 (10 分)南通地铁 1 号线“世纪大道站”有标识为 1,2,3,4 的四个出入口.某周六上午,甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口,开展志愿服务活动.
(1) 甲在 2 号出入口开展志愿服务活动的概率为$\frac{1}{4}$;
(2) 求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图如下:

共有16种等可能的结果，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的结果有4种，所以甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为$\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

23 (10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 3$,$AC = 4$,$BC = 5$,$\odot A$与$BC$相切于点$D$.
(1) 求图中阴影部分的面积;
(2) 设$\odot A$上有一动点$P$,连接$CP$,$BP$.当$CP$的长最大时,求$BP$的长.

答案： 解:
(1)因为$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，所以$AC^2 + AB^2 = BC^2$，所以$\angle BAC = 90°$.因为$\odot A$与$BC$相切于点$D$，所以$AD = \frac{AC · AB}{BC} = \frac{4×3}{5} = \frac{12}{5}$，所以图中阴影部分的面积$S = S_{\triangle ABC} - S_{扇形} = \frac{1}{2}×3×4 - \frac{90°×\pi×(\frac{12}{5})^2}{360°} = 6 - \frac{36\pi}{25}$.
(2)如图，当$C$，$A$，$P$三点共线时，$CP$的长最大，因为$AP = \frac{12}{5}$，$AB = 3$，所以$BP = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \frac{3\sqrt{41}}{5}$.