《2026年江苏13大市中考名卷优选38套数学》

8 如图,正方形$ABCD$的顶点坐标分别为$A(-2,4)$,$B(-2,-1)$,$C(3,-1)$,抛物线经过点$D$,顶点坐标为$(1,0)$,将此抛物线在正方形$ABCD$内(含边界)的部分记为图像$G$,若直线$y=k x-2 k+2(k \neq 0)$与图像$G$有唯一交点,则$k$的取值范围是 (A)


A.$k＞2$或$k＜-\frac{2}{3}$
B.$-\frac{2}{3}＜k＜0$或$0＜k＜2$
C.$k＞1$或$k＜-3$
D.$k＞1$或$k＜-3$或$k=-2$

答案： 8A 解析:设抛物线与正方形边长的另一个交点为E.因为正方形ABCD的顶点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(-2,-1)$，$C(3,-1)$，所以$D(3,4)$.因为抛物线的顶点坐标为$(1,0)$，所以设抛物线的表达式为$y=a(x - 1)^2$.由抛物线过点$D(3,4)$，得$4 = a(3 - 1)^2$，解得$a = 1$，所以抛物线的表达式为$y = (x - 1)^2$，当$y = (x - 1)^2 = 4$时，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$，所以$E(-1,4)$.因为直线$y = kx - 2k + 2 = k(x - 2) + 2$，所以直线过定点$F(2,2)$.当$x = 2$时，$y = (x - 1)^2 = (2 - 1)^2 = 1 ＜ 2$，所以直线$y = kx - 2k + 2(k\neq0)$与$y = (x - 1)^2$的图像必有两个交点.因为直线$y = kx - 2k + 2(k\neq0)$与图像G有唯一交点，所以当$x = 3$时，$y = kx - 2k + 2 ＞ 4$，即$3k - 2k + 2 ＞ 4$，解得$k ＞ 2$；当$x = -1$时，$y = kx - 2k + 2 ＞ 4$，即$-k - 2k + 2 ＞ 4$，解得$k ＜ -\frac{2}{3}$.综上所述，$k ＞ 2$或$k ＜ -\frac{2}{3}$.
Plus方法总结：解决函数图像的交点问题一般有两种方法：①联立方程组根据解的个数判断交点个数或根据交点个数利用联立方程组求参数范围；②利用数形结合的方法，结合图像利用特殊值分析参数范围.

9 若代数式$\frac{2}{x+1}$有意义,则实数$x$的取值范围是 $x\neq -1$.

答案： 9$x\neq -1$

10 分解因式:$x^{3} y-x y=$ $xy(x + 1)(x - 1)$.

答案： 10$xy(x + 1)(x - 1)$

11 若关于$x$的一元二次方程$m x^{2}+n x-2024=0(m \neq 0)$的一个解是$x=1$,则$m+n+1$的值是2025.

答案： 112025

12 如图,将$\triangle ABC$沿边$BC$向右平移2个单位长度得到$\triangle DEF$.若$BC=4$,阴影部分的面积为6,则$\triangle ABC$的面积为 24.

答案： 1224

13 如图,在平面直角坐标系$x O y$中,点$A$在$x$轴负半轴上,点$B$在$y$轴正半轴上,$\odot O$经过$A$,$B$,$O$,$C$四点,$\angle ACO=120^{\circ}$,$AB=4$,则圆心$D$的坐标是 $(-\sqrt{3},1)$.

答案： 13$(-\sqrt{3},1)$

14 如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$\sin A=\frac{3}{4}$,$BC=6$,则$\odot O$的半径是 4.

答案： 144

15 如图,在平面直角坐标系中,函数$y=m x(m＜0)$的图像与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$的图像交于$A$,$B$两点,点$C$在$x$轴上,且$AC=AO$,若$S_{\triangle ABC}=13$,则$k=$ $-\frac{13}{2}$.

答案： 15$-\frac{13}{2}$　解析:由题意，得A，B两点关于原点对称.因为$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OC·|y_A|$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OC·|y_B|$，$S_{\triangle ABC}=13$，所以$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{13}{2}$.因为$AC = AO$，所以$\triangle AOC$是等腰三角形.过点A作$AD⊥CO$于点D.根据等腰三角形的三线合一，得$CD = DO$，所以$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOC}=\frac{13}{4}$，所以$|k| = 2S_{\triangle AOD}=\frac{13}{2}$.因为反比例函数的图像位于第二、四象限，所以$k = -\frac{13}{2}$.
Plus易错警示：掌握反比例函数系数k的几何意义，在面积公式中是k的绝对值，k分正、负，k的值应结合图像所在象限判断正负，这一点容易忽略.

16 如图1,$OA$是$\odot O$的半径,$M$是$OA$的中点,点$N$在$\odot O$上从点$A$开始沿逆时针方向运动一周回到点$A$,运动停止,设运动过程中$\overset{\frown}{AN}$的长为$x$,$MN$的长为$y$,图2是$y$随$x$变化的关系图像,则$a$的值为$\sqrt{7}$.

答案：
16$\sqrt{7}$　解析:结合题图可知，当点N与点A重合时，MN的长$y = MA$，由图像知，此时$y = 1$.因为M是OA的中点，所以$OA = 2MA = 2$，即$\odot O$的半径$r = 2$.当$\overset{\frown}{AN}$的长$x = \frac{4\pi}{3}$时，设$\angle AON = n^{\circ}$，则$\frac{n\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$，解得$n = 120$，即$\angle AON = 120^{\circ}$.过点N作$NG⊥AO$，交AO的延长线于点G.因为$\angle AON = 120^{\circ}$，所以$\angle NOG = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，所以$\angle ONG = 30^{\circ}$.在$Rt\triangle NOG$中，$ON = OA = 2$，$OG = \frac{1}{2}ON = 1$，$NG = \sqrt{ON^2 - OG^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$.因为$OA = 2$，$OM = \frac{1}{2}OA = 1$，所以$GM = GO + OM = 2$.在$Rt\triangle MNG$中，$NG = \sqrt{3}$，$GM = 2$，所以$MN = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2}=\sqrt{7}$，所以$a = \sqrt{7}$.